妙用勾股定理逆定理解決實際問題

【摘要】勾股定理逆定理是數學中的一個重要定理，它對于解決實際問題具有重要意義．本文通過實例說明如何利用勾股定理逆定理解決實際問題，主要包括建筑工程、測量等領域．

【關鍵詞】初中數學；勾股定理；逆定理

1證明最短路徑問題

例1如圖1所示，在一東西方向走向河流的一側有一個村莊C，河岸邊原來有兩個接水點A，B，且AB=AC，由于很多原因，由C到A的路已無法通行，C村為方便村民用水，決定在河岸邊重新新建一個接水點H（A，H，B在一直線上），同時新修建一條公路CH，測得BC=2.6km，CH=2.4km，HB=1km．

（1）請問CH是否為從村莊C到河岸邊的最近的路，請計算加以判斷；

（2）求原路AC的長度．

解析（1）因為12+2.42=2.62，

即BH2+CH2=BC2，

根據勾股定理的逆定理有△CHB是直角三角形，

即CH⊥BH，

所以CH是從村莊C到河邊的最近路（點到直線的距離中，垂線段最短）.

（2）設AC=AB=x，

則AH=x－1，

在Rt△ACH中，CH2+AH2=AC2，

即2.42+x－12=x2，

解得x=3.38，

所以原來的路線AC的長為3.38km．

點評本題主要考查了勾股定理及其逆定理證明最短路徑和求解距離問題，靈活應用勾股定理的逆定理和勾股定理是解答本題的關鍵[1]．

2間接測量長度

例2如圖2所示，一棵25m高的樹在某次大風中被刮折，從折斷處A到樹根B相距8m，樹頂C落在離樹根B點15m處，技術人員為了查看斷痕A處的情況，在離樹根B 6m的位置D處架起一梯子AD，點D，B，C在一直線上．求梯子的長度．

解析由題目已知可得：AB+AC=25m，

BC=15m，AB=8m，BD=6m，

∠ABC=∠ABD=90°，

所以AC=17m，

所以172=152+82，

所以AC2=BC2+AB2，

所以∠ABC=∠ABD=90°，

因為BD=6m，

由勾股定理得AD2=BD2+AB2，

所以AD=62+82=10m，

即這個梯子AD的長應是10m．

點評本題考查了勾股定理逆定理的應用，首先利用勾股定理逆定理求得∠ABC=∠ABD=90°，然后再利用勾股定理求得斜邊AD的長即可，解題的關鍵是能夠從實際問題中抽象出直角三角形，然后間接測量梯子的長度[2]．

3預測行駛時間

例3如圖3，南北方向PQ以東為我國領海，以西為公海，晚上10：28，我國邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發(fā)現其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B處巡邏的103艇注意其動向，經檢測AC=10n mile，AB=6n mile，BC=8n mile，若該可疑船只的速度為12.8n mile/h，則該2f979d8743e66920aa42f96420c25c16可疑船只最早何時進入我國領海？

解析因為∠BDC=90°，

AB2+BC2=62+82=102=AC2，

所以△ABC為直角三角形，

且∠ABC=90°，

因為PQ⊥CD，所以可疑船只C進入我國領海的最短距離是CD，

因為S△ABC=12AB×BC=12AC×BD，

所以BD=4.8n mile，

因為CD2+BD2=BC2=82=64，

所以CD=6.4n mile，

所以6.4n mile÷12.8n mile/h=0.5h=30min，

所以10：28再過30分鐘后就是10：58.

點評已知可疑船只的速度，求出可疑船只到我國領海的距離CD的長即可得出可疑船只所用的時間，即可得出可疑船只何時能進入我國領海，由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，接著由面積法求出BD的長，再由勾股定理求出CD的長即可．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關鍵[3]．

4檢測雕塑

例4（1）如圖4，雕塑底座正面是四邊形ABCD，現提供一足夠長的卷尺，請你設計一個方法檢測雕塑底座正面的邊AB是否垂直于底邊BC？并說明理由．

（2）若雕塑底座是個長方體，量得邊BC長50cm，邊CD長40cm，邊DE長30cm，一只螞蟻從底部點B沿雕塑的表面爬到頂部的點E，螞蟻爬行的最短路程是多少？

解析（1）分別測量AB，BC和AC的長度，

若AB2+BC2=AC2，

則△ABC是直角三角形，

∠ABC=90°，即AB⊥BC．

（2）將長方體展開，如圖5，

由勾股定理，得：BE2=402+30+502=8000，

所以BE=405．

點評本題考查勾股定理及其逆定理的應用．分別測量AB，BC和AC的長度，利用勾股定理逆定理，可判斷AB是否垂直于BC[4]．

5結語

勾股定理逆定理在解決實際問題中具有重要作用，尤其是在建筑工程、測量等領域．通過實例分析，發(fā)現利用勾股定理逆定理可以解決許多復雜的幾何問題，提高工作效率和測量精度．然而，勾股定理逆定理只適用于直角三角形，對于非直角三角形并不適用．因此，在解決實際問題時，需要根據具體情況選擇合適的解決方法．此外，對于一些復雜的幾何問題，需要使用更高級的數學方法和計算機輔助設計工具來解決．隨著數學方法和計算機技術的不斷發(fā)展，可以期待勾股定理逆定理在未來將會有更廣泛的應用前景．

參考文獻：

[1]陳瑩.初中數學勾股定理及逆定理的運用[J].現代中學生（初中版），2023（12）：37-38.

[2]黃玉華.聚焦核心素養(yǎng)發(fā)展提升教材理解能力——以勾股定理的逆定理證法探究為例[J].中學數學教學參考，2023（29）：60-62.

[3]孫長智.利用有效增設探尋證明思路——以“勾股定理的逆定理”教學片段為例[J].中學數學，2023（12）：40-42.

[4]位雅楠.例析規(guī)避勾股定理及其逆定理混用的策略[J].中學數學，2022（14）：66-67.