巧用圖象法求一元二次方程的近似根

【摘要】一元二次方程在數學中占據了重要的地位，是初中數學的重要內容．對于求解一元二次方程，通常使用公式法或配方法．然而，有時候這些方法可能不適用，或者需要大量的計算．在這種情況下，可以嘗試用圖象法求出一元二次方程的近似根．本文介紹如何巧用圖象法求一元二次方程的近似根．

【關鍵詞】初中數學；圖象法；一元二次方程

用圖象法求解一元二次方程的近似根，是快速處理數學問題的方法之一．根據一元二次方程寫出對應的函數表達式，在平面直角坐標系中畫出函數圖象，根據函數圖象，找到根的可能位置，觀察根附近的函數值，確定根的近似值．

1探索規律找解法

例1方程2x2+x－2=0的近似根可以看作是下列哪兩個函數圖象交點的橫坐標（）

（A）y=2x2和y=x－2．

（B）y=2x2+x和y=2．

（C）y=2x2－2和y=x．

（D）y=－2x2和y=x+2．

解析由2x2+x－2=0得2x2=－x+2，則方程可看作函數y=2x2和y=－x+2的圖象的交點，故（A）錯誤；由2x2+x－2=0得2x2+x=2，則方程可看作函數y=2x2+x和y=2的圖象的交點，故（B）正確；由2x2+x－2=0得2x2－2=－x，則方程可看作函數y=2x2－2和y=－x的圖象的交點，故（C）錯誤；由2x2+x－2=0得－2x2=x－2，則方程可看作函數y=－2x2和y=x－2的圖象的交點，故（D）錯誤．

點評本題考查了一元二次方程與二次函數的關系，正確變形是關鍵．通過本例可以看出，一元二次方程的近似根可通過作函數圖象的方法求解．

2在解題中深化解法

例2小朋在學習過程中遇到一個函數y=12xx－32．

（1）當x≥0時，y與x的幾組對應值如表1，結合表1，畫出當x≥0時，函數y=12xx－32的圖象；

（2）若關于x的方程12xx－32=kx－1有一個實數根為2，則該方程其他的實數根約為（結果保留小數點后一位）．

解析（1）根據列表，描點連線，如圖1.

（2）依題意，12xx－32=kx－1有一個實數根為2，則過點2，1，12xx－32=kx－1的解即為y=12xx－32與y=kx－1的交點的橫坐標，且y=kx－1過點0，－1，如圖2，作過點0，－1，2，1的直線，與y=12xx－32交于點A，根據函數圖象的交點可知點A的橫坐標約為4.2，則該方程其他的實數根約為4.2．

點評本題考查了絕對值與平方的非負性，方程的近似解．作經過點0，－1，2，1的直線，與y=12xx－32的另一個交點的橫坐標即為方程的解，數形結合是解題的關鍵．

3在應用中鞏固解法

例3在函數的學習過程中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，結合圖象研究函數性質的過程．以下是探究函數y=x2+2x的性質及其應用的部分過程．列表如表2；在平面直角坐標系中，描出相應的點，用平滑的曲線連接，作出函數圖象如圖3所示．

（1）根據函數圖象，方程x2+2x+2=0有個實數根；

（2）現要建造一個體積為1立方米的長方體無蓋蓄水池，其底面為一個正方形，已知側面造價為每平方米0.5萬元，底面造價為每平方米1萬元，配套設施1萬元．設底面正方形邊長為x 米，總造價為w元，請寫出w關于x的函數關系式，并求出總造價不超過5萬元時x的取值范圍（保留2位小數）．

解析（1）方程x2+2x+2=0的解，即y=x2+2x與y=－2的圖象的交點的橫坐標，根據函數圖象可得y=x2+2x與y=－2只有1個交點，因此，方程x2+2x+2=0有1個實數根．

（2）依題意，w=1×x2+0.5×4×1x2×x+1=x2+2x+1，當w=5時，方程x2+2x+1=5，即x2+2x=4，

根據函數圖象可得，方程x2+2x=4的正的近似解為x1≈0.55，x2≈1.65，所以，當w≤5時，x的取值范圍為0.55≤x≤1.65．

點評本題考查了根據函數圖象求方程近似解的應用．畫出函數圖象后，根據題意可得w=x2+2x+1，當w=5時，即x2+2x=4，觀察函數圖象，即可求解．

4結語

使用圖象法求一元二次方程的近似根具有簡便、直觀的特點．通過觀察函數圖象，可以迅速找到根的位置，并且可以很方便地得到根的近似值．這對于那些不適合使用公式法或配方法的方程來說，是一種非常實用的方法，尤其是解答選擇題時，根據方程的近似解的求解方法，可不用解方程而快速鎖定答案．

參考文獻：

[1]孫朝仁，朱桂鳳.理解教材、教法、學生的數學實驗課——以“二次函數的圖象與一元二次方程的近似根”為例[J].中學數學，2013（14）：12-15.

[2]方廷剛.圖象法解一元二次方程根的分布問題[J].數學教師，1995（02）：48.