多法并用解答線段最值問題

【摘要】線段最值問題是初中數學中一類經典的問題.這一類問題對學生的幾何思維和基礎知識有較高的要求.在求線段最值時，要學會動中求靜，尋求變量和不變量之間的聯系.本文結合例題談三種解答線段最值問題的方法，以供參考.

【關鍵詞】線段最值；初中數學；解題技巧

方法1構造平面直角坐標系，利用兩點之間的距離公式求解

例1如圖1所示，在邊長為4的正方形ABCD中，將△ABD沿射線BD平移，得到一個新的三角形△EGF，連接EC，GC，則EC+GC的最小值為.

解如圖2所示，以正方形ABCD的兩條對角線所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

設平移的距離為a，

則E（a，22），G（－22+a，0），C（0，－22）.

由兩點之間的距離公式可得EC=a2+32，

GC=（a－22）2+8，

則可得

EC+GC=a2+32+（a－22）2+8.

令函數y=x2+32+（x－22）2+8，

問題可以等價于求動點到兩定點的距離之和的最小值.

如圖3所示，設點M（x，42），O（0，0），N（22，22），

問題轉化為求解|MO|+|MN|的最小值，直線y=42上有一動點M，

作點O關于直線y=42的對稱點Q，連接QN，與直線y=42交于點M，

由此可得最小值即為QN的長度，

QN=45.

評析本題需要學生能夠根據題目具體情況合理建立平面直角坐標系，結合兩點之間的坐標公式、勾股定理、對稱性等知識點，總體綜合性較強，需要學生能夠構造函數式研究最值.

方法2相似三角形轉化法

例2如圖4所示，點D是直角三角形ABC內的一點，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

CD=2，試求DA+23DB的最小值.

解在BC邊上取一點E，使得CE=43，連接DE、AE.

因為CECD=432=23，CDCB=23，

所以CECD=CDCB.

又因為∠BCD=∠DCE，

所以△BCD∽△DCE，

則DEBD=CDCB=23，

所以DE=23BD，DA+23DB=DA+DE.

由“兩點之間線段最短”可得當A、D、E三點共線時，DA+23DB最短.

此時DA+23DB=AE=CE2+AC2=4103，

所以DA+23DB的最小值是4103.

評析相似三角形是初中平面幾何中的一類重要的三角形關系.其可以實現線段的轉化，從而將線段和最值問題或者是線段最值問題轉化為一些簡單的三點共線問題，使題目變得更加簡單直觀化.

方法3構造輔助圓法

例3如圖5所示，E、F兩點是正方形ABCD的邊AD上的動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H.若正方形ABCD的邊長為2，則線段DH長度的最小值為.

解由題目條件可得△ABE和△DCF全等，△ADG和△CDG全等，

則∠DCF=∠DAG=∠ABE.

又因為∠ABE+∠AEB=90°，

可得∠AHB=90°.

所以無論E、F兩點如何運動，點H始終在以AB的中點M為圓心，AM的長為半徑的圓弧上.

所以當D、H、M三點共線時，DH最小，

即DH=DM－DH=5－1.

評析此方法運用的關鍵在于找到證明動點運動軌跡是圓的條件，這樣就可以將動點的軌跡限制在輔助圓的范圍內，便于從幾何圖形上看出最值存在處.

結語

上述三種方法是解答線段最值問題的常用方法，學生在解題的過程中要對方法中的數學模型加以總結，找到問題之間的共同點與不同點，從而在下一次解題時能夠更加靈活地運用.