例析數形結合思想在初中數學中的應用

【摘要】數形結合思想是初中數學的重要思想，也是學生數學素養的體現.通過數形結合可以將抽象的數學運算和直觀的圖形相結合，融合了抽象思想和形象思維，綜合了兩種方法的優點，對于解題往往起到重要的作用.本文結合實例探討數形結合思想在初中數學中的應用，以供讀者思考.

【關鍵詞】初中數學；數形結合；解題技巧

1以“形”解“數”

1.1利用反比例函數比例系數k的幾何意義求其大小

例1如圖1所示，雙曲線y=kx（k>0）經過Rt△OAB邊OB的中點D，且與邊AB相交于點C.若S△OBC=3，則k=.

解取AO的中點E，連接DE.

因為點D是直角三角形OAB斜邊OB的中點，

所以DE是三角形OAB的中位線.

由中位線的性質可得DE∥AB，DE=12AB.

因為BA⊥OA，

所以DE⊥OA，

S△ODE=14S△OBA=12k，S△OBA=2k.

又因為S△OCA=12k，S△OBC=3，

所以12k+3=2k，

即k=2.

評注反比例函數下方所包含圖形的面積就代表著比例系數k的大小，利用數形結合思想，將原本復雜的代數運算轉化為圖形面積的運算，利用割補法等求解面積大小的方法即可.

1.2幾何作圖求線段和最值

例2如圖2所示，拋物線y=ax2－5ax+c與x，y軸分別交于A，C，E三點，其中A（－3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，M，N兩點分別是線段CO，BC上的動點，CM=BN，連接MN，AM，AN.

（1）求參數a的值；

（2）求AM+AN的最小值.

解（1）把（-3，0）和（0，4）代入y=ax2-5ax+c中，得9a+15a+c=0c=4，

解得a=-16，c=4，

所以a為-16.

（2）由（1）可求得拋物線解析式為y=-16x2+56x+4，點D的坐標為（3，5）.

設點M（0，t），過點N作NH⊥x軸，

則CM=BN=4－t.

由△BNH∽△BCO，

得NH=45BN=165－45tBH=35BN=125－35t，

OH=3－（125－35t）=35t+35，

所以N（35t+35，－45t+165）.

AM+AN=（0+3）2+（t－0）2

+（35t+35+3）2+（－45t+165－0）2

=t2+9+（t－25）2+57625

=（t－0）2+（0－3）2

+（t－25）2+（0－245）2.

建立如圖3所示的平面直角坐標系，

則A（0，3），B（25，245），C（t，0）.

（AC+BC）min=BD

=（25－0）2+（245+3）2=61，

即（AM+AN）min=61.

評注求解折線段最值問題時，通?？梢詫⑵滢D化為典型的“將軍飲馬”問題，從而將代數問題幾何化，拓寬了解題的思路，體現了數形結合的思想.

2以“數”解“形”

2.1通過代數運算避免作輔助線

例3如圖4所示，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，點E在邊AB上，連接DE，CE，∠CED=90°，AD+BC=CD.求證：E是AB的中點.

解設AD=x，BC=y，

則CD=x+y.

在Rt△CDE，Rt△ADE和Rt△BCE中，

由勾股定理得CD2=DE2+CE2DE2=AD2+AE2CE2=BC2+BE2.

所以CD2=AD2+AE2+BC2+BE2，

即（x+y）2=x2+AE2+y2+BE2，

整理可得AE2+BE2=2xy①，

易證△ADE∽△BEC，

則y：AE=BE：x，

所以xy=AE·BE②，

將②代入①中得AE2－2AE·BE+BE2=0，

即（AE－BE）2=0，

故AE=BE，點E即為AB的中點.

評注此題作為一道幾何問題，常規的思路是添加輔助線，實現條件的轉化來求解，但是在實際的解題過程中會發現思路難以開展.關注題目條件的特征，出現了多個直角三角形，就考慮使用勾股定理從代數角度進行運算.再結合相似三角形的性質，建立起線段之間的數量關系，即可得到答案.

3結語

由上述幾道例題可以看出，將代數和幾何的知識互相轉化，可以在一定程度上降低問題的難度.在初中數學中，此類問題比比皆是，學生要多觀察、多分析、多比較，找到代數和幾何的平衡點.華羅庚先生曾說過，數缺形時少直觀，形少數時難入微，只有將兩者的優點結合，才能碰撞出創新的火花.