基于最短路徑問題的初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新案例研究

【摘要】本文通過對最短路徑問題的系統(tǒng)分析與歸納，結(jié)合圖論的基礎(chǔ)知識，設(shè)計適合初中學(xué)生理解與實踐的教學(xué)案例.旨在幫助學(xué)生深入理解最短路徑問題背后的數(shù)學(xué)原理，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和問題解決能力.

【關(guān)鍵詞】最短路徑問題；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

1引言

最短路徑問題是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題之一，在初中數(shù)學(xué)教育中引入此類問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和解決復(fù)雜問題的能力.本文提出兩種基于最短路徑問題的數(shù)學(xué)創(chuàng)新案例研究方法，以期為初中數(shù)學(xué)教育提供新的視角和策略.

2案例研究

例1已知O為圓錐的頂點，M為底面圓周上一點，點P在OM上，一只螞蟻從點P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行，回到點P時所經(jīng)過的最短路徑的痕跡如圖1，若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展平，所得側(cè)面展開圖是（）

（A） （B）

（C）（D）

解析螞蟻繞圓錐側(cè)面爬行的最短路線應(yīng)是一條線段，因此選項（A）和（B）錯誤.又因為螞蟻從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行后，又回到起始點P處，那么如果將選項（C）（D）的圓錐側(cè)面展開圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點P應(yīng)該能夠與母線OM′上的點P′重合，而選項（C）還原后兩個點不能夠重合．故選（D）．

策略分析本文選取了一個具有代表性的最短路徑問題——幾何體的最優(yōu)行走路線設(shè)計.首先，通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的圖形模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.當(dāng)螞蟻在一個幾何體的表面移動時，為了找出其最短路徑，我們往往會采取一個實用的方法：“化曲為平”或“化折為直”，將幾何體展開成平面圖形.由題意螞蟻從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行返回起始點的距離，可轉(zhuǎn)化為扇形上兩點間的距離.可以采取以下解題策略：

建立空間觀念：首先，幫助學(xué)生建立清晰的空間觀念，理解三維空間中點、線、面的關(guān)系，以及它們與二維平面中的區(qū)別.

實踐操作：利用教學(xué)模型或教具，讓學(xué)生通過親手操作來感受幾何體中的最短路徑問題.比如，可以讓學(xué)生用細線在幾何體模型上實際測量最短路徑，從而加深對問題的理解.

數(shù)形結(jié)合：結(jié)合數(shù)學(xué)軟件和圖形計算器，通過數(shù)形結(jié)合的方式來求解最短路徑問題.這樣既可以提高學(xué)生的計算能力，又能培養(yǎng)他們的空間想象力.

數(shù)學(xué)建模：在機器人導(dǎo)航中，如何使機器人在復(fù)雜的環(huán)境中快速找到目標(biāo)位置，同時避免障礙物，也是一個典型的幾何體最短路徑問題.

例2“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李顧《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”問題（如圖2）．

（1）如圖3，若點A和點B分別在直線l的兩側(cè)，請作出示意圖，在直線l上找到點C，使得CA+CB有最小值，并說明作圖依據(jù)：；

（2）如圖4，若點A和點B在直線l的同側(cè)，請在直線l上作出點P，使得PA+PB有最小值；

（3）如圖5，已知∠AOB=30°，點Q在∠AOB內(nèi)部，點M，N分別在射線OA，OB上，若OQ=6，請求出△QMN周長的最小值．

解析（1）連接AB，與直線l相交于點C，則CA+CB有最小值，即為AB．作圖依據(jù)是兩點之間線段最短．

（2）如圖6，點P即為所求．

（3）如圖7，作法：

①作點Q關(guān)于OA的對稱點C.

②作點Q關(guān)于OB的對稱點D.

③連接CD，分別交OA于點M，交OB于點N，則△QMN的周長最小.

連接OC、OD.

因為點C和點Q關(guān)于OA對稱，所以O(shè)C=OQ=6，∠MOC=∠QOM.

同理可得，OD=OQ=6，∠QON=∠NOD，

所以O(shè)C=OD=6，

∠MOC+∠QOM+∠QON+∠NOD=2∠QOM+2∠QON=2∠AOB=60°，

所以△COD為等邊三角形，CD=6.

所以△QMN的周長=QM+MN+QN=CM+MN+DN=CD=6．

策略分析將軍飲馬問題是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)最值問題，涉及幾何和代數(shù)的知識.解決這類問題通常需要運用對稱性、線性規(guī)劃以及化歸思想等策略，確定是“一定兩動”“兩定一動”，還是其他變體，然后根據(jù)問題的特點選擇合適的解題策略.可以采取以下解題策略：

直觀展示：利用數(shù)學(xué)軟件或繪圖工具，直觀地展示將軍從營地出發(fā)到“飲馬”再到返回營地的各種可能路徑，幫助學(xué)生理解最短路徑的概念.

數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，即將軍的位置、河流的位置以及營地的位置可以用點來表示，而路徑則可以用線段來表示.然后，利用“兩點之間線段最短”的原理來求解最短路徑.

拓展應(yīng)用：在理解了將軍飲馬問題的基本原理后，教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生思考如何將該原理應(yīng)用到其他類似的實際問題中，例如城市規(guī)劃、電路設(shè)計、機器人路徑規(guī)劃等，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力.

利用數(shù)值模擬技術(shù)：對地形、障礙物等因素進行建模，通過計算機模擬尋找最短路徑.

基于機器學(xué)習(xí)的方法：通過機器學(xué)習(xí)算法，訓(xùn)練模型來自動尋找最短路徑，特別適用于復(fù)雜地形和動態(tài)變化的環(huán)境.在物流運輸中，如何規(guī)劃最優(yōu)的運輸路徑，以最小化運輸成本和時間，是一個典型的將軍飲馬問題.

3結(jié)語

本文重點分析了“將軍飲馬問題”和幾何體中的最短路徑問題.研究發(fā)現(xiàn)，通過引入生活中的實際案例，利用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)、直觀展示、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)形結(jié)合等教學(xué)策略，可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

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