破解思維障礙，深化數學概念理解

［摘 要］學生常將周長與面積這兩個幾何概念混淆。為幫助學生克服這一認知障礙，設計拓展課程“蜘蛛爬窗戶游戲”。該課程采用寓教于樂的形式，讓學生在動手操作中深化對周長概念的理解。

［關鍵詞］數學概念；拓展課程；周長；面積

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0079-03

數學拓展課程的設計，應基于對教材內容的深入挖掘和對學生認知規律的精準把握，旨在對基礎課程進行有效的補充、延伸、拓展與整合。為確保“蜘蛛爬窗戶游戲”這一拓展課程的質量與效率，教師需全面而細致地理解教材的知識結構，將學生在學習過程中遇到的概念理解誤區轉化為拓展課程內容，促進學生對于相關數學概念的深化理解和準確應用。

一、課前思考

在小學數學教學中，周長與面積的概念教學需遵循由淺入深的順序。青島版教材在三年級上冊首次出現周長概念，此時學生已具備一定的生活經驗，對周長的理解較為直觀，因此在解決問題時正確率較高，不易產生概念理解上的障礙。然而，到了三年級下學期學習面積概念時，可能是由于兩者在概念上有相似之處，且在生活中的應用場景有所交叉，學生常常會將周長與面積混淆。

為了幫助學生清晰地區分周長與面積，教師可以在學生學完“周長”而尚未開啟“面積”學習之間的“空檔期”，安排銜接拓展課“蜘蛛爬窗戶游戲”，旨在承前啟后。教學目標如下：

首先，學生將通過參與互動式游戲，學會正確識別和計算圖形周長，并能靈活運用能量圖標表示蜘蛛的爬行路徑長度。

其次，學生通過觀察、猜測、實踐和驗證等多種學習方式，初步理解消失路線與新增路線之間的關系，并構建周長保持不變的數學模型。通過參與游戲，學生將積累實踐經驗，為未來的數學學習打下堅實基礎。

最后，學生在游戲活動中不僅能夠體驗到成功的喜悅，還能養成良好的學習習慣。同時，學生能學會有效地與他人合作交流，從而提升數學素養和協作精神。

二、教學實踐

（一）規則講解

師：今天，我們要開展一場名為“蜘蛛爬窗戶游戲”的冒險！一只蜘蛛正站在窗戶前，它準備沿著窗戶的邊緣爬行。每當它爬完一條寬邊，就需要消耗1壺能量（動畫演示壺形能量的消耗，如圖1-1）；每當它爬完一條長邊，就要消耗1桶能量（動畫演示桶形能量的消耗，如圖1-2）。那么，如果蜘蛛繞著這扇窗戶爬了一整圈，它總共會消耗多少能量呢？

師（課件出示能量圖標，如圖2）：用能量圖標可以清晰地看到蜘蛛爬一圈總共消耗了多少能量。每爬一條寬邊，就用1個壺形圖標來表示；每爬一條長邊，就用1個桶形圖標來表示。

【設計意圖：“蜘蛛爬窗戶游戲”能以直觀、形象的方式引導學生深入理解周長的概念。游戲規則巧妙地將窗戶的寬邊和長邊與壺形和桶形能量圖標相對應，實現了數學知識與游戲元素的完美結合。在游戲過程中，學生將進行觀察、想象、操作和驗證等多維度的認知活動，從而在實踐中構建周長概念的數學模型，并積累寶貴的學習經驗?！?/p>

（二）在猜想中構建模型

師（出示圖3）：有一個由6扇窗戶組成的大長方形落地窗，一只勇敢的蜘蛛決定沿著這個落地窗的外側爬一圈，它需要消耗多少能量呢？

師：如果從這個落地窗中移除1扇窗戶，小蜘蛛爬一圈消耗的能量會有什么變化呢？是減少了還是沒有變化？

師：看來大家對這個問題有不同的看法。請大家用練習紙獨立研究一下這個問題。首先，隨意移除1扇窗戶，在練習紙上用“×”標記出被移除的窗戶位置；其次，計算剩余窗戶構成的新圖形的周長，并以能量圖標表示蜘蛛爬落地窗所消耗的能量；最后，比較移除掉窗戶前后，以及移除不同窗戶時，小蜘蛛爬落地窗消耗的能量，分析其差異。

【設計意圖：通過比較，學生深刻理解在窗戶數量及總面積均減少的前提下，移除不同位置的窗戶對消耗總能量的影響可能存在差異。】

（三）變式處理，正式確立模型

1.移除單扇窗戶，擬定模型框架

師：請計算蜘蛛沿著12扇窗戶組成的落地窗外側爬行一圈所消耗的能量。

師：移除1扇窗戶的情況下，如何讓蜘蛛爬行消耗的能量不變？

生1：移除角落的窗戶時，消耗的能量保持不變。這是因為新增的長和寬與減少的長和寬位置平移后能完全重合，增加的能量圖標（壺形和桶形能量圖標）與去掉的能量圖標數量相等，從而使得總能量的數量不發生變化。

師：所有角上的窗戶都符合這一規律。通過對比移除窗戶前后的能量圖標數量（如圖4），就能夠直觀地看到能量消耗的變化。

【設計意圖：利用動態演示技術巧妙地展示了在特定條件下，即移除角落窗戶時，蜘蛛的爬行路徑長度保持不變。這種直觀的教學方式激發了學生的好奇心和探索欲，引導他們主動思考并嘗試解答“如果繼續移除角落的窗戶，蜘蛛的爬行路徑長度是否仍然不變”的問題。這種方法以問題為導向，鼓勵學生獨立思考，減少了外界干擾，從而提高了他們解決問題的能力，也為學生后續構建模型和深入學習奠定了基礎、指明了方向?！?/p>

2.移除多扇窗戶，加固模型主骨

師：在特定條件下，是否可以繼續移除窗戶，而不影響蜘蛛爬行消耗的能量數量？

生1：動手操作后發現，當消失的路線與新增的路線長度相等時，蜘蛛消耗的能量確實保持不變。（如圖5）

【設計意圖：通過一系列科學方法，學生從初步猜測到實際操作與測量，再到嚴謹驗證，以及最后的交流與反思，逐步理解了周長這一幾何屬性的重要性。這一過程不僅加深了學生對幾何概念的理解，還鍛煉了他們的觀察力、實驗技能和批判性思維?！?/p>

3.小組互動合作，應用數學模型

師（出示圖6）：以同桌為單位進行角色扮演。其中一人負責模擬窗戶的搭建，另一人則模擬蜘蛛爬行。要求在模擬蜘蛛爬行的過程中，必須確保蜘蛛消耗的能量保持恒定。

三、教學反思

（一）趣味與疑問并重，激發學習原動力

1.注重形式創新，激發學習興趣

將學生的日常生活經驗融入教學設計中，是促進學生深度理解的有效手段?！爸┲肱来皯粲螒颉边@一教學活動巧妙地利用學生對窗戶這一常見元素的熟悉度，引導他們探究由窗戶組成的圖形的周長。這樣的問題貼近學生生活，降低了學習門檻，使學生輕松進入學習狀態。通過實際操作和觀察，學生在親身體驗中發現了數學規律，提升了學習興趣和探究欲望。

2.精心設計內容，激發學習欲望

游戲作為一種教學活動形式，能有效激發學生的學習欲望，而精心設計的游戲內容則是驅動學生學習的關鍵。“蜘蛛爬窗戶游戲”從簡單的窗戶元素出發，通過逐步增加窗戶數量和蜘蛛爬行難度，引導學生應對逐步升級的挑戰。這種設計策略避免了游戲內容的單調乏味，并通過適度的難度遞增，讓學生在每次挑戰中都能獲得成就感，持續激發他們的學習熱情和探索欲望。

（二）經歷科學推理，發展數學能力

1.在懸念中推進師生對話

在“蜘蛛爬窗戶游戲”的活動中，學生通過觀察和實驗驗證關于能量消耗變化的假設。這一過程是一種科學推理過程，涉及提出問題、構建模型、收集數據和得出結論，以探索自然規律。在推理過程中，學生使用“能量圖標”這一直觀工具來描述和分析圖形周長的變化，增強了觀察力和表達力，有效促進了思維發展和推理能力的提升。

2.在想象中構建知識橋梁

想象是促進學生空間觀念發展的關鍵。教師引導學生預見“移除窗戶”后圖形的變化，思考哪些元素改變、哪些保持不變，并將想象中的結果與實際運動結果對比，以不斷完善和調整自己的想象。這種想象過程有助于學生深化對空間關系的理解和知識內化，使學生的思維更加活躍，想象更加合理豐富，聯想邏輯更加縝密嚴謹。

（三）多次研磨，鞏固深化理解

1.呼應原型，增強數學韻味

在周長概念的教學延伸中，“蜘蛛爬窗戶游戲”引入與周長概念緊密相連的“能量圖標”這一信息載體，旨在加深學生對周長的理解。游戲通過移除窗戶（即減少圖形面積）的動作，為學生提供了直觀的體驗，有效降低了學生在區分周長與面積時的認知難度。

2.激發矛盾，點燃思維火花

學生的認知發展是一個不斷重構的動態過程，包括既有知識體系的解構和新知識體系的構建。在這一過程中，認知沖突的出現至關重要，因為它激勵學生重新審視和整合他們的知識結構。本節課通過兩個精心設計的認知沖突點，有效地挑戰了學生的預設思維。

首先，從6扇窗戶中隨機移除1扇窗戶，不同的移除策略會導致能量圖標分布的不同。這一情境打破了學生對“唯一正確答案”的刻板印象，培養了他們的靈活性和創造性思維。

其次，從12扇窗戶中移除1扇窗戶及多扇窗戶時，學生可能會直觀地認為圖形面積減小則周長減小，然而實際情況并非如此。這種認知差異激發了學生的好奇心，促使他們深入探究圖形變化的數學原理，加深了對面積概念的理解。

（責編 金 鈴）