多維探究周長(zhǎng) 感悟一致內(nèi)涵

［摘 要］周長(zhǎng)是小學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域的一個(gè)重要概念，教師應(yīng)在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)有效的活動(dòng)來(lái)加深學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，使其逐步形成整體性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。文章在一致性視角下探究有關(guān)周長(zhǎng)的多維核心認(rèn)知，以及周長(zhǎng)概念的核心本質(zhì)，并通過(guò)核心本質(zhì)的串聯(lián)與發(fā)散，引導(dǎo)學(xué)生積極參與實(shí)踐探究，充分彰顯了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐操作、對(duì)比分析、內(nèi)因探究、歸納總結(jié)等活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展了高階思維能力。

［關(guān)鍵詞］周長(zhǎng)；多維探究；一致性視角

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）29-0045-04

在實(shí)際教學(xué)中我們常常發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了周長(zhǎng)的概念，也能正確計(jì)算基本圖形的周長(zhǎng)，但一遇到“剪一剪”“拼一拼”“折一折”的圖形問(wèn)題時(shí)還是頻頻出錯(cuò)。造成這一現(xiàn)象的內(nèi)在原因是什么呢？又該如何解決呢？不同學(xué)生有不同的錯(cuò)誤，但在一致性的視角下不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以對(duì)這類圖形問(wèn)題感到困惑，歸根結(jié)底是沒(méi)能深入理解周長(zhǎng)的核心本質(zhì)，只會(huì)死記硬背公式。教師在一致性的視角下引導(dǎo)學(xué)生從多維度深入感悟周長(zhǎng)概念的本質(zhì)，能讓學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)擦亮雙眼、撥云見(jiàn)日。

一、多維理論探究周長(zhǎng)

周長(zhǎng)的本質(zhì)是什么？周長(zhǎng)的核心概念又該從哪些維度來(lái)理解呢？小學(xué)階段對(duì)周長(zhǎng)的定義是這樣的：封閉圖形一周邊線的長(zhǎng)度，就是它的周長(zhǎng)。對(duì)于周長(zhǎng)的概念，我們無(wú)須像初、高中一樣刻意拔高，只需結(jié)合小學(xué)生的實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生從以下四個(gè)維度來(lái)解讀。

【維度1】“一周邊線”是從某一點(diǎn)出發(fā)，沿著周界回到起點(diǎn)的封閉路線。封閉圖形內(nèi)部的線段不屬于周長(zhǎng)的部分。

【維度2】“長(zhǎng)度累加”說(shuō)明周長(zhǎng)是由周界邊線累加得到的總和。例如，三角形的周長(zhǎng)就是圍成三角形三條線段的長(zhǎng)度總和。又如，圓的周長(zhǎng)是圍成一周的許多圓弧的長(zhǎng)度的總和，這是“化曲為直”思想的基礎(chǔ)。通過(guò)平移的方法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形也是利用了這一思想。因此，利用平移法求周長(zhǎng)時(shí)一定要關(guān)注平移前后兩個(gè)圖形累加的線段是否一致或一一對(duì)應(yīng)。

【維度3】周長(zhǎng)與面積的相互依存性。在一個(gè)封閉的區(qū)域中，有面積就有周長(zhǎng)，兩者相互依存，而且兩者的本質(zhì)都是“度量單位的累加”。三年級(jí)的學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)面積的概念，但如果在教學(xué)周長(zhǎng)時(shí)為降低面積概念的干擾，撇開(kāi)面積只研周長(zhǎng)，學(xué)生反而容易混淆面積與周長(zhǎng)的概念。

【維度4】過(guò)程和結(jié)果的雙重特性。周長(zhǎng)是一個(gè)具體的值，是一個(gè)結(jié)果。可是要獲得這個(gè)結(jié)果必然經(jīng)歷“找一周邊線” “度量”“計(jì)算”等一系列整體的活動(dòng)，這是周長(zhǎng)具有的“過(guò)程性”。可見(jiàn)，周長(zhǎng)概念從一個(gè)過(guò)程引進(jìn)，然后轉(zhuǎn)變?yōu)榻Y(jié)果，最終兩者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中共存，這就是它的“過(guò)程”和“結(jié)果”的雙重特性。

以上是從四個(gè)不同的理論維度來(lái)理解周長(zhǎng)的內(nèi)涵，四個(gè)維度各有側(cè)重，但又有著內(nèi)在的聯(lián)系。因此，教師只有在一致性視角下宏觀指揮，通過(guò)不同的操作環(huán)節(jié)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從不同維度充分理解周長(zhǎng)的本質(zhì)，才能讓學(xué)生觸及周長(zhǎng)概念的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階。

二、實(shí)際活動(dòng)探究周長(zhǎng)

結(jié)合上述四個(gè)維度，筆者通過(guò)“周長(zhǎng)是多少”一課的幾個(gè)教學(xué)片段來(lái)分析。

（一）撕一撕：周長(zhǎng)本質(zhì)初感悟

師（用PPT出示一張長(zhǎng)方形白紙，如圖1）：如果從A點(diǎn)沿著虛線撕開(kāi)，甲、乙兩部分誰(shuí)的周長(zhǎng)大？

生1：我覺(jué)得乙的周長(zhǎng)大一些，因?yàn)橐疫@部分看著就比甲大。

生2：我覺(jué)得甲和乙的周長(zhǎng)一樣大。

生3：我覺(jué)得現(xiàn)在還無(wú)法確定，因?yàn)榧堖€沒(méi)有撕完，甲和乙的邊線還沒(méi)有確定。

師：其他人更同意誰(shuí)的說(shuō)法？

生（齊）：生3說(shuō)的更有道理。

師：看來(lái)，沒(méi)撕完之前無(wú)法確定甲、乙兩部分的邊線，也就無(wú)法判定誰(shuí)的周長(zhǎng)大。那現(xiàn)在誰(shuí)能用筆接著把這條線畫完，并說(shuō)出你的結(jié)果？

（教師展示學(xué)生的3種畫法，如圖2）

生4：按AB這條線撕，甲的周長(zhǎng)小于乙的周長(zhǎng)；按AC這條線撕，甲、乙的周長(zhǎng)相等；按AD這條線撕，甲的周長(zhǎng)大于乙的周長(zhǎng)。

師：你們總結(jié)得真棒！圖形的周長(zhǎng)是一周邊線的長(zhǎng)度，與圖形的大小無(wú)關(guān)。

[教學(xué)思考]以“撕一撕”這個(gè)活動(dòng)導(dǎo)入，讓學(xué)生嘗試從兩個(gè)維度來(lái)理解周長(zhǎng)的概念：只有封閉圖形才能確定周長(zhǎng)，與圖形的大小無(wú)關(guān)。學(xué)生雖然現(xiàn)在還沒(méi)有正式學(xué)習(xí)面積的相關(guān)知識(shí)，但對(duì)圖形的大小是有直觀感悟的，這一導(dǎo)入能夠很好地幫助學(xué)生區(qū)分周長(zhǎng)與面積。

（二）拼一拼：尋找“消失的周長(zhǎng)”

師：一個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm的小正方形的周長(zhǎng)是多少？

生1：4 cm。

師：那6個(gè)邊長(zhǎng)都是1 cm的小正方形的周長(zhǎng)之和是多少？

生2：24 cm。

師：如果把這6個(gè)小正方形拼在一起，拼出的圖形周長(zhǎng)是24 cm嗎？請(qǐng)自己拼一拼。

（展示部分學(xué)生拼成的作品，如圖3）

生3：拼出的這4個(gè)圖形的周長(zhǎng)都不一樣，且都比24 cm小。

師：你觀察得很仔細(xì)。有誰(shuí)知道“消失”的這部分周長(zhǎng)都去哪了嗎？

生4：拼組以后，圖形內(nèi)部的邊不屬于周長(zhǎng)的一部分了。

生5：中間拼在一起的邊不能算在周長(zhǎng)里，拼在一起的邊越多，圖形的周長(zhǎng)就越小。

生6：我還發(fā)現(xiàn)每2個(gè)小正方形拼在一起，就會(huì)減少2條邊，周長(zhǎng)也減少2 cm。

師：你們可真厲害，一下子發(fā)現(xiàn)了這么多的秘密。利用這些發(fā)現(xiàn)，你們能找到計(jì)算這4個(gè)圖形周長(zhǎng)的方法嗎？

生7：可以用原來(lái)6個(gè)小正方形的周長(zhǎng)之和減去中間拼接重合的部分，每拼接一處，周長(zhǎng)就減少2 cm。如圖形①，中間拼接了5處，減少了2×5=10（cm），圖形的周長(zhǎng)是24-10=14（cm）。

師（總結(jié)）：大家說(shuō)得都很好。同樣的6個(gè)小正方形拼出來(lái)的圖形雖然大小是一樣，但周長(zhǎng)卻可能是不一樣的。

[教學(xué)思考]學(xué)生在“拼一拼”中尋找“消失的周長(zhǎng)”，經(jīng)歷了“動(dòng)手操作—分析原因—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—?dú)w納總結(jié)”的探究過(guò)程，再次從不同的維度獲得了以下關(guān)于周長(zhǎng)的核心認(rèn)知。

周長(zhǎng)是指圖形一周邊線的長(zhǎng)，與圖形內(nèi)部的線段無(wú)關(guān)，拼接重疊在一起的內(nèi)部線段不再是周長(zhǎng)的一部分。因此，由幾個(gè)小正方形拼接得到的圖形的周長(zhǎng)一定比這幾個(gè)小正方形的周長(zhǎng)之和要小。這也為計(jì)算組合圖形的周長(zhǎng)提供了新的思路。

計(jì)算圖形周長(zhǎng)時(shí)，可以通過(guò)一周邊線分段累加得到，累加時(shí)可以逐段累加，也可以先平移部分線段，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)行計(jì)算。

拼在一起的6個(gè)小正方形雖然形狀不同，但大小是相等的，周長(zhǎng)則不一定相等，這再次說(shuō)明圖形的周長(zhǎng)大小與面積大小沒(méi)有本質(zhì)關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步滲透周長(zhǎng)與面積的區(qū)別。在一致性的視角下再一次進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)不同維度的解讀又有著內(nèi)在的聯(lián)系：周長(zhǎng)的本質(zhì)是一周邊線的長(zhǎng)，因此可以分段累加邊線求周長(zhǎng)，也可以用6個(gè)小正方形的周長(zhǎng)之和減去拼接后轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形內(nèi)部線段的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度；不同的拼法，重疊減少的線段也是不同的，這也解釋了為什么拼出的圖形大小相等但周長(zhǎng)卻不一致。

（三）比一比：探尋周長(zhǎng)不變的原因

師（出示圖4）：圖中每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1 cm。仔細(xì)觀察，這3個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等嗎？

生1：圖①是長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)是（6+5）×2=22（cm）。圖②和圖③是不規(guī)則圖形，可以數(shù)邊數(shù)計(jì)算，也可以用平移的方法計(jì)算（如圖5），這3個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，都是22 cm。

師（出示圖6）：右邊圖形的周長(zhǎng)是否也是22 cm呢？

生2：它的周長(zhǎng)不是22 cm。把中間凹進(jìn)去的那條邊平移到上方，圖形也會(huì)變成一個(gè)長(zhǎng)方形，但這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與原圖形的周長(zhǎng)相比，少了中間豎著的兩條邊，所以這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是24 cm。

師：通過(guò)平移能把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，但要注意平移前后圖形的周長(zhǎng)有沒(méi)有發(fā)生改變。

[教學(xué)思考]圖4的探究活動(dòng)旨在讓學(xué)生經(jīng)歷平移轉(zhuǎn)化的過(guò)程，從中感受平移轉(zhuǎn)化的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)后續(xù)的追問(wèn)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生意識(shí)到：雖然平移是個(gè)好方法，但一定要關(guān)注平移前后圖形的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化。圖6的探究活動(dòng)讓學(xué)生再次感受多邊形的周長(zhǎng)就是將各部分邊線的長(zhǎng)累加起來(lái)，不論采用什么樣的計(jì)算方法，這一點(diǎn)始終是不變的。

（四）估一估、量一量：在實(shí)踐中感悟周長(zhǎng)“過(guò)程與結(jié)果”的雙重特性

師：規(guī)則圖形的周長(zhǎng)我們會(huì)想、會(huì)算、會(huì)畫了，可生活中并不都是規(guī)則圖形。如圖7所示的2個(gè)圖形的周長(zhǎng)大約是多少呢？請(qǐng)先估一估，再量一量。

師（提示）：怎樣估算才更準(zhǔn)確呢？可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)，采取靈活的方法。

生1：對(duì)于圖①，我們可以先估一條線段的長(zhǎng)度，大約1 cm。圖①有10條這樣的線段，所以它的周長(zhǎng)約是10 cm。

師：圖②的邊線是彎曲的，要一下子估算出它的周長(zhǎng)比較難，誤差也比較大。怎樣估算才更準(zhǔn)確呢？

生2：可以把它的一周平分成4份來(lái)看，其中一份的長(zhǎng)大約是3 cm，那么它的周長(zhǎng)是12 cm。

師：想要知道生1和生2估得準(zhǔn)不準(zhǔn)，我們還需要實(shí)際測(cè)量一下。經(jīng)過(guò)測(cè)量，圖①的一條線段確實(shí)是1 cm，它的實(shí)際周長(zhǎng)是10 cm。我們?cè)撛趺礈y(cè)量圓②的周長(zhǎng)呢？

生3：用化曲為直的辦法，用線繞圖②一周，再將線拉直量一量。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的棉線等工具，小組合作，測(cè)量圖②的周長(zhǎng)。

（測(cè)量結(jié)束后組織學(xué)生交流測(cè)量與計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題與解決方案。）

生4：棉線應(yīng)該緊貼圖②的邊緣。

生5：圖②的周長(zhǎng)與其內(nèi)部線段無(wú)關(guān)。

生6：用彩筆在棉線上做記號(hào)的方式能使測(cè)量的結(jié)果更準(zhǔn)確。

生7：如果圍繞圖案一周的線段太長(zhǎng)，尺子一次無(wú)法測(cè)量的話，也可以對(duì)折后再測(cè)量，最后用結(jié)果乘2。

……

[教學(xué)思考]周長(zhǎng)是一個(gè)具體的值，是一個(gè)結(jié)果。要獲得這個(gè)結(jié)果必然經(jīng)歷“找一周”“度量”“計(jì)算” 等一系列活動(dòng)，由此可見(jiàn)，周長(zhǎng)具有清晰的過(guò)程性。在一致性的視角下，周長(zhǎng)的測(cè)量過(guò)程與周長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果同樣重要，二者是相互依存、密不可分的。學(xué)生僅僅了解圖形的計(jì)算方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要深入體會(huì)圖形周長(zhǎng)由實(shí)際度量到計(jì)算的完整過(guò)程，并在這一過(guò)程中感受化曲為直的思想和分段累加的思想。在真正的測(cè)量實(shí)踐中，學(xué)生不僅順利測(cè)出了圖案的周長(zhǎng)，還根據(jù)實(shí)際情形提出了存在的問(wèn)題和相應(yīng)的解決方案。如此，學(xué)生便不需要死記什么是周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的意義已經(jīng)隨著活動(dòng)的探究深入了學(xué)生的內(nèi)心。周長(zhǎng)“過(guò)程與結(jié)果”的雙重特性在此得以展現(xiàn)，學(xué)生思維能力、合作探究能力也在活動(dòng)中得以提升。

綜上所述，對(duì)剛開(kāi)始學(xué)習(xí)周長(zhǎng)的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，深入理解周長(zhǎng)的本質(zhì)無(wú)疑是有些困難的。因?yàn)椴煌S度下的解讀有著不同的內(nèi)涵，學(xué)生理解得不透徹，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)便會(huì)猶如霧里看花，難辨真假。而在一致性視角下，周長(zhǎng)不同維度的解讀有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，教師通過(guò)合適的實(shí)踐活動(dòng)就能夠很好地激發(fā)學(xué)生自主探究的熱情，使學(xué)生在有效的探究過(guò)程中加深對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，從而撥云見(jiàn)日，透過(guò)現(xiàn)象看清問(wèn)題的本質(zhì)。與此同時(shí)，學(xué)生的思維能力、合作探究能力等高階能力也能在活動(dòng)中得以發(fā)展提升。

（責(zé)編 覃小慧）