單元整體教學的一致性與階段性

［摘 要］結構化教學內容具有整體性、一致性、階段性，教師應用整體性眼光處理好一致性與階段性的關系，幫助學生系統地學習知識與技能，積累基本的數學思想和活動經驗。文章以人教版教材“數與代數”領域單元整體教學為例，分別從“抓住‘數與運算’‘數量關系’一致性的學科本質”“了解‘數與運算’‘數量關系’的學科本質在不同階段的表現”“運用整體性思維處理好‘數與運算’‘數量關系’一致性與階段性的關系”三個方面，闡述單元整體教學的一致性與階段性。

［關鍵詞］單元結構；整體性；一致性；階段性

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0015-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）對“數與代數”內容領域進行了結構化整合，形成“數與運算”和“數量關系”兩大主題。兩大主題內容既關注學科本質，相互關聯，具有一致性，又明確了各階段內容教學間的階段性目標。這就需要教師處理好一致性與階段性的關系，引導學生逐步建立相關主題的知識結構，以核心概念為統領，建立內容間的關聯，在學習過程中形成知識和方法間的遷移，從而更好地理解和掌握核心概念和方法，發展學生的核心素養。

一、抓住“數與運算”“數量關系”一致性的學科本質

根據有著共同學科本質的主題內容，《課程標準》提出了“一致性”的核心思想，目的是有助于教師從整體上理解和把握主題知識的核心內容。

（一）“數與運算”主題學習內容的一致性

關于“數與運算”主題學習內容的一致性，《課程標準》明確提出：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”

教師在進行數概念教學時，首先都是提供熟悉的情境，使學生在具體情境中感受數量，再抽象出具體的數，然后總結其本質都具有一致性，即都是用抽象的符號表達具體的數量，最終目的是引導學生在認、讀、寫的基礎上理解并掌握數的含義。

例如，人教版教材在“整數”的主題內容中，無論是一年級“5以內數的認識和加、減法”“6～10的認識和加、減法”“11～20的認識”“100以內數的認識”，二年級“萬以內數的認識”，還是四年級“1億有多大”，都是引導學生在熟悉的具體情境中完成對數量的抽象，以及數的認讀寫、基數、序數、數的順序、數的組成、比大小、數位、計數單位等含義的理解，其主題內容學習的本質是一致的，主題內容學習的思想方法也具有一致性，即都是在幾個一、幾個十、幾個百、幾個千……數位上的累加。又如，在“分數”“小數”的主題內容中，教師也是先引導學生在具體的情境中進一步完成對分數、小數的抽象，幫助學生在認識幾個幾分之一、幾個十分之一……的基礎上完成對分數、小數意義的理解。從計數單位個、十、百、千到幾分之一、十分之一（0.1）、百分之一（0.01）來看，整數、分數、小數具有一致性。

可見，計數單位的一致性不僅體現在數的概念內容的表達上，還體現在數的運算中。整數、分數、小數的運算，從本質上可以理解為整數、分數、小數中相同數位或相同計數單位的累加，具有一致性。同樣，這種一致性可以拓展到四則運算。

（二）“數量關系”主題學習內容的一致性

“數量關系”主題學習內容主要是在解決問題的情境中收集信息、發現問題、提出問題并解決問題，其一致性體現在收集信息、分析問題的過程中建立數量關系的模型，并應用這種模型解決問題。

例如，人教版教材在第一學段利用動畫、實物操作、畫圖等方法，引導學生在具體情境中理解把兩部分合起來、求一共有多少、原來有多少的運算都用加法，這是加法模型的雛形；在此基礎上解決求其中一份是多少、還剩多少的運算都用減法，感悟減法是加法的逆運算；在具體情境中引導學生經歷乘法是加法的簡便運算的過程，以及除法是乘法的逆運算。第二學段是在具體情境中，利用加法和乘法表示數量間的關系，建立加法和乘法模型。第三學段中的“用字母表示數”和“比”的教學，則是加法和乘法數量關系模型的拓展，雖然兩個數相除可以用“比”表示，但其實質表示的是兩個量之間的倍數關系，是一種特殊的乘法模型。

二、了解“數與運算”“數量關系”的學科本質在不同階段的表現

“數與運算”“數量關系”主題學習本質上具有一致性，但不同主題內容分布在不同學段，而不同學段的主題內容要求、學業要求都不一樣，具有階段性。教師首先要了解不同學段的主題內容，然后才能從階段性視角理解和處理不同學段主題內容的呈現方式，進而對學生的學習提出階段性要求。

（一）“數與運算”主題學習內容的階段性

《課程標準》對不同學段“數與運算”主題學習的內容要求和學業要求不同。在第一學段的“教學提示”中要求“數的認識教學應提供學生熟悉的情境，使學生感受具體情境中的數量”“10以內數的教學重點是使學生體驗1～9從數量到數的抽象的過程”“利用對應的方法理解加法的意義”“理解乘法是加法的簡便運算”等；在第二學段的“教學提示”中相應提出“在認識整數的基礎上，認識小數和分數”“知道大數的意義和四位一級的表示方法”“感悟分數單位”“利用整數的乘法運算，理解算理與算法之間的關系”等；在第三學段的“教學提示”中又相應提出“進一步感悟計數單位在運算中的作用”“注重對整數、小數和分數四則運算的統籌”等。其中具有一致性的核心概念——計數單位，貫穿整個“數與運算”主題教學，但不同學段有著不同層次的要求。

例如，人教版教材在數的認識內容中，第一學段一年級安排的是0～100的認識；二年級安排的是“萬以內數的認識”，教材提供學生熟悉的情境，學生在具體情境中抽象出數量，并經歷數的認讀寫、比大小、數的組成等過程，理解不同數位上的數表示不同的值。第二學段三年級安排了分數、小數的初步認識內容，引導學生在具體情境中理解分數和小數表達的現實意義，初步感悟分數單位；四年級安排更大數的認識，教材提供現實情境使學生感知更大數的應用，認識更大的計數單位和數位順序表，會根據數級認、讀、寫數等，在內容安排一致性基礎上體現數概念教學的階段性。在第三學段分數、小數的意義理解中安排了感悟分數、小數計數單位的一致性。“數與運算”就是引導學生在數的認識基礎上，通過逐步對數位理解的表達和拓展來厘清運算算理。

（二）“數量關系”主題學習內容的階段性

不同階段對“數量關系”主題內容學習均有不同的要求。第一學段的重點是“利用畫圖、實物操作等方法，引導學生用學過的知識表述情境中的數量關系”，解決簡單的問題；第二學段的重點是“能在真實情境中，發現常見數量關系，感悟利用常見數量關系解決問題”，形成初步的模型意識；第三學段的重點是數量關系模型的建立、運用和拓展，“引導學生會用字母或含有字母的式子表達實際情境中的數量關系”，形成初步的代數思維，發展學生的符號意識、推理意識和初步的應用意識。

人教版教材在安排“數量關系”主題內容時，通常與“數與運算”主題內容融合，在現實情境中利用運算的意義來理解數量關系，逐步形成“數量關系”模型。例如，第一學段教材安排的是看圖寫算式，解決一共有多少、還剩多少、比多少、原來有多少、幾個相同加數的和、還可以裝幾袋等問題，以及等分除、包含除等內容，通過直觀具體情境分析數量關系，利用運算的意義理解數量關系，并解決問題，從而積累數量關系模型。第二學段教材安排的是在理解運算意義的基礎上完成數量關系的抽象，建立和運用數量關系模型：四年級上冊中常見的兩個乘法模型“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”，就是對相應數量關系的抽象表達；四年級下冊中加減乘除法的意義、各部分之間的關系及運算律，則是在對量的合并、去除、比多少等理解和運用基礎上加以抽象，形成“總量=分量+分量”模型，并用圖形或字母表達出來，形成一般模型，從而解決數學現實情境中更多的關于“數量關系”主題的問題。第三學段中分數、小數的計算則是加法模型的具體應用，“用字母表示數”“方程”是用字母表示數量關系，形成初步的代數思維，“比”表示兩個量相除的數量關系等，都是運用數量關系模型來解決相關問題。

三、運用整體性思維處理好“數與運算”“數量關系”一致性與階段性的關系

教學中，教師不僅要抓住“數與運算”“數量關系”兩個學習主題一致性的學科本質，還要了解“數與運算”“數量關系”階段性學習主題的學科本質在不同階段的表現，同時要運用整體性思維處理好“數與運算”“數量關系”兩個學習主題的一致性與階段性的關系，才能在核心概念的統領下引領學生在不同階段發展相應的數學核心素養。

（一）“數與運算”的一致性與階段性的關系

“數與運算”主題學習內容從整體上看，有整數、分數和小數等數概念的認識及相關的運算。在學習這部分內容時，學生必須經歷由數量抽象到數的形成過程，經歷數的運算時算理和算法的探究過程，體會它們之間的關系，在此基礎上感悟數的概念和數的運算本質上的一致性。但對于學生不同階段的不同表現，“數與運算”主題內容的安排在整體性、一致性基礎上體現了階段性。

從整體性思維角度看，人教版教材中“數的認識”主體內容如圖1所示。

不同學段、不同年級對“數的認識”內容安排也不同（見表1）。

用整體性思維的眼光來看“數的認識”，不難發現，教材在不同階段的教學是建立在前一個知識的基礎上，且不同學段教學的側重點不同：第一學段側重于對整數意義的理解和抽象，第二、三學段則是在此基礎上進一步認識更大的整數及各數位的含義，并發展學生對分數、小數的認識和抽象。

“數與運算”主題內容則是在認識整數、分數、小數的基礎上，在解決現實問題情境中，使學生經歷算理、算法的探索過程，知道減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便運算、除法是乘法的逆運算。在此過程中，學生感悟將未知轉化為已知，理解數的運算及運算之間的關系，從而厘清算理、掌握算法，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。

（二）“數量關系”的一致性與階段性的關系

“數量關系”主題的教學，從整體性上說主要是引導學生在具體情境中經歷運用數量關系解決問題的過程，從中感悟其數量關系，并抽象出加法和乘法模型，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成初步的模型意識和應用意識。“數量關系”的教學同樣存在一致性和階段性，用整體性思維的眼光來看，不同學段有不同表現。

第一學段，學生是在具體情境中通過操作、觀察、畫圖等方法來理解數量關系，主要運用對數的意義的理解和運算的意義表示數量關系來解決具體問題。如人教版教材一年級“池塘里有6只鴨子，又來了3只，一共有多少只鴨子？”這道題，基本的數量關系就是“池塘里鴨子只數+又來的鴨子只數=總只數”。第二學段是在第一學段積累的一些運用數的意義和運算解決問題的基礎上，運用加法或乘法表示數量之間的關系，建立加法和乘法模型，并運用這些模型及變式來理解數量關系，進而解決問題。如人教版教材四年級下冊“四則運算”中“加、減法的意義和各部分間的關系”，在“和=加數+加數”基礎上抽象出“總量=分量+分量”的加法模型，并借助具體情境，通過對比分析幫助學生理解減法是與加法相反的運算，構建“逆運算”的概念，從而抽象出“分量=總量-分量”的變式模型。第三學段是在第二學段構建模型基礎上的應用，并拓展到“用字母表示數量關系”，從而解決問題。如人教版教材五年級上冊“簡易方程”中的“用字母表示數”中，創設了“爸爸的年齡比小紅大30歲”的情境，得出基本的數量關系“爸爸的年齡=小紅的年齡+ 30”，如果小紅的年齡用ɑ表示，則爸爸的年齡就是“ɑ+30”。由于《課程標準》要求在小學階段不出現方程，而是將字母表示數拓展為表示數量關系，因此對于人教版教材中的“解簡易方程”，教師可以嘗試用“用字母表示關系”及加法、乘法模型組合來分析、解決問題。

小學階段數學知識及核心素養的學習是一個階段性的過程，教學中教師要抓住主題學習核心內容的一致性來設計教學活動，并用整體性眼光和思維處理好每個主題內容或單元主題學習一致性與階段性的關系，幫助學生系統地學習數學知識與技能，積累基本的數學思想和活動經驗，從而形成良好的數學核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

（責編 李琪琦）