圓周率計算：中國古代數學發展史上的明珠

從蠻荒到開化，從結繩計數到四則運算……在探索數學的道路上，華夏民族的祖先不斷向前。

在14 世紀以前，中國一直是世界上數學最發達的幾個國家之一，尤其在圓周率的推算上，一直保持著遙遙領先的地位。圓周率計算的精準度，在一定程度上反映了當時一個國家數學發展的水平。在這方面，我國著名數學家祖沖之將圓周率的推算結果精確到了小數點后7 位。這個紀錄在世界上保持了近千年的時間。

圓，是一種普遍存在的圖形，遍布于人類生活的各個方面。人類對圓的探索與思考，自然而然地延伸到了對圓周率的研究上。圓周率，即圓的周長和直徑的比值。它是一個神秘莫測的無理數，具有無窮無盡的小數。直到今日，人類仍然對它進行著不斷的探索。圓周率的推算，見證了我國古代數學的發展，也印證著我國古代數學的輝煌。

從“周三徑一”到割圓術

根據現有記載，我國圓周率的推算最早可以追溯到《周髀算經》一書。《周髀算經》約成書于公元前1 世紀，那時書中已經提出了“周三徑一”的說法，即圓的周長是直徑三倍。但是，《周髀算經》一書中并沒有給出明確的理論依據。當時，圓周率只是一個粗略的數值，是人們在對田畝的測量中發展的經驗性認識。這種說法體現了中國古人對圓周率的初步探索。

北京教育學院歷史系主任方美玲認為：“圓周率的準確計算，對把握天體的運行規律從而精確歷法有決定性作用。”隨著社會的發展，“周三徑一”逐漸不能滿足精確歷法的需求。公元1世紀，西漢學者劉歆打造了更為精準的圓周率測量工具——律嘉量斛。劉歆是第一個打破自古沿用的“周三徑一”、去追求更精確圓周率數值的人。他把圓周率的數值精確到了3.154 7，世稱“歆率”。

從“周三徑一”到歆率，不難看出當時人們對圓周率的計算還停留在實測中，缺少理論方面的計算。這一局面直到東漢時期數學家張衡的出現才被打破。張衡從圓與它的外切正方形的關系入手，開始計算圓周率。在《算罔論》和《靈憲》中，都記載著張衡關于圓周率測算的方法。張衡的計算過程較為復雜，魏晉時期數學家劉徽對張衡的計算工作進行介紹時，曾批判說：“然增周太多，過其實矣。”但不可否認的是，張衡開辟了一個新的思路，為圓周率計算提供了一種理論方法。

劉徽對圓周率進行了進一步的探索，創造出了割圓術。劉徽在為《九章算術》所作的注中說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”簡單來說，就是用圓內接正多邊形去分割圓，通過不斷分割，使正多邊形的周長接近圓的周長。分割越多，就越精準。劉徽的割圓術體現了一種極限思維，為圓周率的計算建立了相關理論和算法。

從《周髀算經》到《九章算術注》，從“周三徑一”到割圓術，在古人不斷追求圓周率的精確計算之路上，我們可以看到中國古代數學的不斷進步。經驗性認識、測量工具的改進、理論方面的計算、精準科學方法的出現……圓周率計算方法的不斷進步，推動著我國古代數學的發展。

將圓周率精確到小數點后7 位

提起圓周率，我們現在想到的往往是3.141 592 6。早在公元480 年，祖沖之就計算出了這一數值。他將圓周率精確到了小數點后7 位，界定在3.141 592 6和3.141 592 7 之間。這不僅在當時是最精準的數值，而且在往后近千年里都無人超越。

關于祖沖之是如何計算出圓周率的，至今未有確切答案。祖沖之在《綴術》中介紹了求圓周率數值的方法，可惜《綴術》在戰火中遺失，未能流傳至今。我們現在只能在《隋書·律歷志》中看到相關記載。在《隋書》中，雖然沒有記載祖沖之計算圓周率的具體方法，但是記載了祖沖之計算圓周率的成果。在聊城大學教授房元霞看來，如果這一結果是祖沖之用割圓術計算所得，就需要對9 位數字進行130 次以上的各種運算，這無疑是一項大工程。這里就不得不提到祖沖之計算圓周率的主要工具——算籌。每一次圓周率的計算都是9 位數的計算，使用算籌計算的難度十分大。盡管如此，祖沖之最后的計算結果誤差極小。

圓周率數值計算結果的不斷精確，反映著我國古代數學家在數學思想和方法等方面的進步。正是由于一代代數學家進行研究，我國古代數學才能領先于世界。

思想延伸到現代科研中

我國古代圓周率的計算方法包含著許多精妙的思想，至今仍影響著現代數學的發展。在劉徽的割圓術中，割圓越多，內接多邊形就越接近圓，測量的數據就越準。這種極限思維不僅在當時是一種令人驚嘆的創新思維，在當下的數學研究中也起著重要作用。極限思維就是沒有窮盡的計算過程，現代的微積分、數值分析、復雜變量理論等數學研究中都運用了極限思維。除此之外，在圓周率中發揮重要作用的幾何模型也在現代數學的發展中占據重要地位。

北京大學科學與社會研究中心教授孫小禮認為，祖沖之在圓周率方面的成就是與“搜煉古今”“咸加該驗”和決不“虛推古人”的科學精神分不開的，是與他艱苦卓絕的科學勞動和堅韌不拔的堅強毅力分不開的。在現今社會，創新發展需要“咸加該驗”，要懷抱著嚴謹的心態對待科研工作，進行堅持不懈的努力。

人類對圓周率十分癡迷，至今仍在進行小數點后的計算。運用計算機技術，現代科研人員已經可以將圓周率計算到小數點后萬億位。目前，圓周率的精確計算主要是為了對計算機進行性能檢測，計算機得出的數值越精準，說明計算能力越強。圓周率日趨精準，也體現著現代科學技術的不斷進步。

文章來源：《科技日報》

（責任編輯：吳宇）