題源：生成　應(yīng)用　拓展

試題千變?nèi)f化，但有些類型的試題有著相同的源頭，我們稱之為“題源”.以下筆者通過線段和的最值問題，說明題源的生成、應(yīng)用與拓展.

1 題源的生成

問題如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩城鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么位置可使所用的輸氣管線最短？

分析：這個問題的本源是在直線l上找一點P，使它到點A，B的距離之和最小，如圖2所示，即在l上求作一點P，使得PA+PB的值最小.我們知道，兩點之間，線段最短.為了找到點P，可以將A，B中的一個點用它的對稱點來代替，連接對稱點與另外一個點，這兩個點的連線與直線l的交點就是求作的點P.

解：如圖2，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則泵站修在管道的P點處，可使所用的輸氣管線AP+BP最短.

理由如下：在直線l上任取一點E，連接AE，BE，A′E.

因為點A，A′關(guān)于直線l對稱，所以AP=A′P.

同理，AE=A′E.

因為AP+BP=A′P+BP=A′B，

AE+BE=A′E+BE＞A′B，

所以AP+BP＜A′E+BE.

因為E是l上的任意一點，所以AP+BP最短.

總結(jié)反思：要求一動點到兩個定點距離之和的最小值，應(yīng)采用“化折為直”的方法，先作其中一個定點的對稱點，再將對稱點與另一個固定點連線，這條連線與已知直的交點就是要尋找的點.

2 題源的應(yīng)用

從上述題源問題可以發(fā)現(xiàn)，此類試題應(yīng)具備兩定點一動點和一固定直線，當動點在固定直線上運動時，題源的解題思路才可以應(yīng)用，問題的關(guān)鍵在于找出問題的四個要素，即兩定一動一定.

應(yīng)用一：先作圖再求值.

如圖3，已知有A，B兩村莊在公路l的同側(cè)，A村到公路的距離AC=1 km，B村到公路的距離BD=2 km.現(xiàn)要在公路邊修一個公交車站，使其到A，B兩村的距離之和最短.若CD=4 km，則該公交車站到兩村的最短距離之和為_____.

分析：如圖4所示，直接應(yīng)用題源的方法，即先作點A關(guān)于l的對稱點，再連接對稱點與另一固定點B，找到符合題意的公交車站位置后，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求得斜邊長.

分析：本題的固定點為F和B，動點為P，固定直線為線段AE所在的直線.因為菱形ADEF是軸對稱圖形，對角線所在的直線就是對稱軸，所以固定點F的對稱點不用作圖，經(jīng)分析就是點D.因此直接連接BD，BD與AE的交點就是求作的動點P，此時線段BD的長就是PF+PB的最小值.

3 題源的拓展

綜上，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘典型題源，提取問題的本質(zhì).同時，反思題源的解題思路與方法，明確題源的模型特點.唯此，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)具有鮮活的味道.