活用解題策略促進思維發展

摘要：數學解題的過程就是學生思維從理解問題到探索思路、解決問題的一個思考活動，由此可知，問題高效解決的關鍵是思維.本文中以一道江蘇中考壓軸題為例，對整個解題教學過程展開探究，活用多種解題策略，促進學生思維發展.

關鍵詞：初中數學；解題教學；中考壓軸題；思維發展

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確提出，義務教育時期，數學思維更多是表現在推理意識、運算能力以及推理能力上.在數學問題的解決中，多元化解題策略以及一題多解的運用目的也并不在于多種解法，而是關注思維的多層次發展.因此，數學教師在講解解題策略時，要教會學生注重題目給出的顯性條件，指導學生從不同的角度深挖試題隱含的條件，準確把握有用信息，通過思維關聯和不斷嘗試，從多個角度找出問題解決的方法，從而使學生形成相應的探究意識，促進其數學思維的發展.

初中數學中考的題型結構一般分為3部分.第一部分為相對簡單的題型，主要考查初中數學的基礎知識；第二部分為難度適中的題型，主要考查考生綜合掌握初中數學知識的能力；第三部分是拉開考生差距的壓軸題.

初中數學中考壓軸題主要指考查考生全面聯系不同知識點，綜合運用數形結合、函數與方程、分類討論等數學思想，以及嚴密、準確的運算能力，將復雜、抽象問題等價轉化為簡單、具體問題的題目類型.初中數學中考壓軸題的題型主要包括線段與角的計算和證明、圓與三角形的位置關系、函數與方程、動態幾何與函數，以及交叉函數等問題類型.

原題呈現如圖1，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA＝8 cm.動點P從點A出發，以1 cm/s的速度沿AO水平向左做勻速運動，同時，動點Q從點O出發，也以1 cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運動.連接PQ，交OT于點B，經過O，P，Q三點作圓，交OT于點C，連接PC，QC，設運動時間為t s，其中0<t<8.

問：是否存在實數t，使線段OB的長度最大？若存在，求出t的值;若不存在，說明理由.（注：其他小問題略）

1 搭建問題支架，培養推理意識

數學發展的基礎是邏輯推理，經過邏輯推理得出的數學結構，更能體現數學知識的嚴謹性及其靈活性.因此，為了使學生在解決本題時形成良好的推理意識，故設計了以下問題：

問題1分析題目與動態圖的結構，探究線段OB的長度變化受到哪些因素的影響？

通過該問題，學生分析出線段OB的長度受到動點P，Q的運動時間t的影響，由此可推理得出OB長度和時間t之間的關系式，經過代數運算，則能完成解題.

問題2從點運動的條件作為入手，依據“路程＝速度×時間”，可用含有t的代數式表示OQ和OP的長.依據∠POQ被線段OB平分可得到兩個45°的角，此時，怎樣表示OB的長呢？

面對該問題，可引導學生結合圖形分析得到，題干給出的條件與未知結論都和圓無關，因此，不考慮圓形，可將求取結論轉變成求三角形中的角平分線的長，即可解題.

問題3本題解答是否可以通過圓組成的圖形結構進行求解？

面對這一問題，學生會積極分析，將解題角度轉變成圓的角度，可依據圓周角定理，發現隱含條件，即△CPQ是等腰直角三角形，即CQ＝CP.同時，學生可結合圖形推理出OB處于兩組相似三角形中，由此則能構建線段的比例關系，有效解決問題.

經過以上三個問題的引導，學生不僅能推理出題干已給的條件以及求取的結論，而且還能準確把握問題本質，降低解題難度，形成更高效的解題思路[1].

2 一題多解，強化運算能力

3 變式訓練，提升推理能力

4 解題反思，優化解題思維

解題反思作為學生解題思維及解題能力得到進一步發展的關鍵，教師在完成解題教學時，可設計相應的反思問題，引導學生思考，促進其解題能力的提高.在對本題進行解題反思時，主要提出以下問題幫助學生反思：

問題1在解題過程，你是怎樣想的？這樣解題的依據是什么？

問題2依據解題過程，總結已知兩邊及其夾角的一個三角形，怎樣求該夾角的平分線段的長度？

綜上所述，思維既是學生學習數學知識的核心，也是其學習能力提高的關鍵，因此，數學教師在解題教學中，需關注的數學思維發展，立足于推理意識的培養、運算能力的強化、推理能力的提升三方面，讓學生經歷由模糊至清晰、由理解至應用的一個過程，從而使其思維能力得到真正發展.

參考文獻：

[1]劉亮.初中數學中考壓軸題的解題策略與技巧[J].數學大世界（中旬），2021（2）：76.

[2]黃湖.中考數學壓軸題的解題策略與技巧[J].試題與研究，2019（12）：136.