新課標下初中數學綜合題解題教學的實踐探究

摘要：綜合題解題教學應立足學生最近發展區，以理解為核心，以生長為目的，提供時間和空間讓學生思考、探究、感悟，逐步培養學生分析和解決問題的能力.在具體實施過程中，教師要以基礎知識和基本方法為重點，引導學生把問題與模型、模型與知識進行融通，培養學生樂于思考、敢于創新、勇于挑戰的良好思維品質，切實提高綜合題解題教學質量，促進學生全面發展.

關鍵詞：綜合題解題教學；理解；生長

中考數學綜合題具有知識點多、知識面廣、解法靈活等特點，其重點考查學生對核心知識、重要數學思想方法的理解和掌握水平及分析問題和解決問題的能力.解決這些數學綜合題需要學生具有扎實的基礎知識和基本技能，并能靈活應用聯想、分析、轉化、類比、歸納等多種數學思想方法.在日常教學中，教師有必要針對這些數學綜合解答題進行有效教學，從而幫助學生消除畏難情緒，提高學生解題的信心.那么在具體實施過程中，到底如何處理綜合題解題教學呢？筆者結合教學實踐談談自己的幾點粗淺認識，供參考.

1 認真審題，挖掘條件

審題是解題的第一步，也是關鍵的一步.中考數學綜合題的題型多變，關系復雜，條件隱蔽，審題至關重要.教學中，教師要引導學生逐字、逐句閱讀，并認真分析題目中的每一個條件和結論，對于一些關鍵詞、關鍵句要適當進行標記.同時，教師應重視引導學生挖掘題目中那些隱含條件，以便結合那些顯性條件作出合理的推測，確定解題手段，形成解題策略，確保解題效果.

例1已知△ABC是等腰三角形，其周長為20 cm，設腰AB的長為x cm，底BC的長為y cm，試寫出y與x的函數表達式，并求出自變量x的取值范圍.

分析：由題意可得y=20－2x.根據三角形的三邊關系定理，可知x+x>20－2x，且x+（20－2x）>x，解得5＜x<10.故y關于x的函數表達式為y=20－2x（5<x<10）.

從以上解題過程不難看出，三角形的三邊關系是隱性條件，若解題時中忽視背后的隱藏條件，很容易出現錯誤.在日常教學中，教師應重視審題訓練，充分挖掘各種顯性、隱性條件，從而獲取盡可能多的信息，以便快速找準解題方向，提高解題效率和準確率.

2 拆分圖形，構造圖形

學生之所以感覺中考數學綜合題難，其中一方面的原因就是學生的讀圖、識圖能力相對較弱，不能從復雜圖形中拆分或構造出基本圖形，從而在面對復雜的圖形問題時常常受挫.綜合題的圖形一般較為復雜，解題時一般需要從中找出或構造出熟悉的基本圖形，以此達到化生為熟、化繁為簡的目的，從而快速形成解題策略.

例2如圖1，點B在反比例函數y=8/x（x>0）上，過點B分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點C，A.點M是線段OB的中點，且在反比例函數y=k/x（x>0）的圖象上.點D，E分別為反比例函數y=k/x（x>0）的圖象與AB，BC的交點，連接DE，并延長DE，使其與x軸交于點F.在x軸上取一點G，使得OC=GC，連接BF，BG.

（1）求k的值；

（2）求△BDF的面積；

（3）求證：四邊形BDFG是平行四邊形.

分析：第（1）問較為簡單，設點B的坐標為（s，t），則st=8.由點M為OB的中點，得點Ms/2，t/2，則k=s/2·t/2=2.這樣從代數的視角出發，利用設而不求思想順利解決了問題.對于第（2）問，解法靈活多樣.若從代數視角出發，可以分別求出點的坐標及線段的長度，在求解過程中可以設而不求.若從幾何角度出發，可以添加輔助線OD，則問題由求S△BDF轉化為求S△BDO（同底等高面積模型），得到S△BDO=S△BAO－S△DAO=1/2×8－1/2×2=3.第（3）問要證明四邊形BDFG是平行四邊形，其中BD∥FG是已知，這樣若能證明BD=GF，問題即可迎刃而解.根據題意易得OC=CG=AB，問題轉化為求CF的長度.利用“8字模型”相似，易證△DEB∽△FEC，所以BD/CF=BE/EC，由此可以表示出CF的長度，問題得以獲證.

結合以上分析過程不難發現，本題是一道知識非常豐富、解法非常靈活的綜合題，重點考查學生的模型意識，若學生能夠熟練把握基本圖形，就能順利地確定解題方向，快速解答.

3 展示分享，優化策略

新課標提倡人人學有價值的數學.有價值的數學應該是與學生的現實生活和以往的知識體驗有著密切關系，是能夠吸引學生注意力，激發學生學習興趣，并對學生終身學習有幫助的.教學中，教師要放權給學生，鼓勵學生大膽嘗試、敢于創新，讓每個學生都能獲得相應程度的發展.

例3已知一次函數y=2/3x－2與x，y軸分別交于A，B兩點，過△AOB某個頂點的直線將△AOB的面積分成相等的兩部分，求該直線的解析式.

分析：根據已知易求A，B兩點的坐標分別為（3，0），（0，－2），由此可以得到圖2所示的△AOB.結合已知，若過三角形頂點的直線將三角形的面積分成相等的兩部分，則該直線為三角形的中線所在的直線，而△AOB的中線有三條，所以符合條件的直線有三條.其中過點A的中線l1和過點B的中線l2易求，該題的焦點主要集中在過點O的中線l3上.為了充分發揮學生的主體作用，激發學生的潛能，讓每個學生都能有所發展，教師讓學生交流、分享.

方法1：若要求直線l3的解析式，易想到明確直線l3上的兩點，然后利用待定系數法求直線的解析式.已知直線l3過原點O（0，0）.又該直線過線段AB的中點，這樣若能求出中點的坐標，問題即可獲解.如圖3，令C為AB的中點，分別過點C作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點E，F，問題可轉化為求CE和CF的長度.利用中線定理易得OF=1/2OB=1，OE=1/2OA=32，所以點C（1.5，－1），得到點C的坐標后，利用待定系數法可以求出直線l3的解析式.

方法2：根據三角形中線的性質可知，三角形的三條中線相交于一點，所以直線l必過直線l和直線l的交點，這樣得到直線l和直線l的解析式后，將兩方程聯立即可求出交點的坐標，進而得到直線l的解析式，大大優化了解題過程.

方法3：分別過點A，B作x軸和y軸的垂線，使其交于一點M，于是可以構造出一個矩形OAMB，根據矩形對角線性質可知點M必在直線l上，點M的坐標易求，由此可求直線l的解析式.

方法1是大多數學生的選擇，屬于常規解法；方法2是從幾何角度思考，利用三角形中線的性質得到直線l3上又一點的坐標；方法3與方法2具有異曲同工之妙，都是從幾何圖形的角度思考，靈活應用相關幾何性質解決問題.這樣通過一題多解的展示，引導學生多角度、多層次、全方位思考問題，可以使學生的思維層次得到深層開拓，有利于激發學生的無限潛能[1].

4 分而治之，各個擊破

面對中考數學綜合題時，很多學生容易出現畏難情緒，部分學生面對綜合題時選擇直接放棄.其實，縱觀各市歷屆的中考題不難發現，大多綜合題會設計多個小問.第（1）問重點考查基礎知識，大多數學生都能順利解答的；第（2）問難度雖然略有提升，但是并不是高攀不起，如果認真分析也能有所突破；第（3）問一般難度較大，題目中會涉及較多的障礙，解法也會比較靈活，解題時可量力而行.這樣學生若能樹立解題信心，分層思考，分而治之，定能有所成長，有所突破.

總之，初中數學是培養學生思辨能力、應變能力和理解能力的關鍵，因此在綜合題解題教學中，教師要立足學生，引導學生追本溯源，認清問題的本質，幫助學生樹立解題信心，以此更好地提高綜合題的教學效果和學生的數學綜合應用能力.

參考文獻：

［1］賈永亮.開拓思路 一題多解——談初中數學一題多解的教學研究[J].數理化解題研究，2021（26）：14-15.