妙用輔助圓，巧解數(shù)學(xué)中考題

摘要：當(dāng)前課程的深化改革對初中數(shù)學(xué)提出了更高的要求，本文中主要以妙用輔助圓，巧解數(shù)學(xué)中考題為重點(diǎn)進(jìn)行闡述，首先分析了問題背景和初中數(shù)學(xué)妙用輔助圓的意義，其次從結(jié)合圓定義構(gòu)建輔助圓、結(jié)合圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化實(shí)際問題、引入輔助圓解決有關(guān)角度和引入輔助圓求有關(guān)線段最值問題等幾個方面深入說明并探討.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；輔助圓；圓的性質(zhì)；巧解中考題

針對初中數(shù)學(xué)解題過程而言，很多數(shù)學(xué)題采用常規(guī)的思路都無法得出正確答案，需要通過分析和利用圓的特征，結(jié)合題目內(nèi)容構(gòu)建輔助圓才能獲取正確答案.通過這樣的解題方式能夠進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路.圓作為幾何中的一種特殊圖形，具有一定的數(shù)學(xué)魅力，很多數(shù)學(xué)題目從表面觀察似乎和圓沒有太多的關(guān)系，但引入輔助圓之后能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，為學(xué)生帶來一種流暢清晰的學(xué)習(xí)美感.

1 初中數(shù)學(xué)妙用輔助圓意義

很多初中數(shù)學(xué)題目都與“圓”這一知識有關(guān)，其中一些問題看似和圓之間毫無關(guān)系，但從題目條件出發(fā)需要構(gòu)造輔助圓，能夠起到化隱為顯的作用[1].縱觀初中學(xué)生解決問題中所遇到的困難原因，首先是解題信心不足.因?yàn)橥ㄟ^輔助圓解決的中考問題，這種數(shù)學(xué)題型和純粹的計算問題存在一定的區(qū)別，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有更高的要求；同時，通過輔助圓涉及到的中考題內(nèi)容，有文字、圖形等不同方式，其中隱藏大量的數(shù)量關(guān)系，很多初中學(xué)生在面對文字的描述內(nèi)容時，都會感覺無從下手并且十分茫然.因此，學(xué)生在面對中考數(shù)學(xué)問題時，需要正確分析題中的信息，將其中的干擾語句清晰梳理出來，便于題意的直接判斷，這樣才能發(fā)揮出輔助圓對解決中考題的真正價值.其次，是閱讀能力不足.中考題其中一個特點(diǎn)就是利用文字進(jìn)行描述，其中會涉及到很多科學(xué)性語言，對學(xué)生自身的閱讀理解水平有一定的要求.一些初中學(xué)生在面對需要利用輔助圓解決問題的中考題時，不能理解甚至不懂得其中專業(yè)詞語的正確含義，不能結(jié)合文字畫出正確的輔助圓順利解決問題，這樣就會造成一些對數(shù)學(xué)知識掌握不牢固的學(xué)生難以順利完成問題解決.最后，是學(xué)生普遍建模能力較差.中考數(shù)學(xué)問題中，很多都是通過數(shù)據(jù)、文字語言進(jìn)行表達(dá)，有時還會涉及到多種變量關(guān)系，對學(xué)生的建模能力有一定的要求，要學(xué)生通過數(shù)學(xué)語言理解中考題，分析數(shù)學(xué)語言之間的關(guān)系.但對于一些數(shù)學(xué)能力較差的初中生而言，很難在閱讀題目中將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行全面性分析，難以發(fā)現(xiàn)問題解決的突破口，無法通過輔助圓完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.

圓作為初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，具有十分特殊的性質(zhì)，可以輔助學(xué)生解決多種數(shù)學(xué)問題.如對于求線段長度、角度、最值問題，以及取點(diǎn)個數(shù)問題的解決，都發(fā)揮著搭橋鋪路的作用.對于利用輔助圓求線段長度問題，主要是通過有共同端點(diǎn)的幾條線段相等，將這一端點(diǎn)作為圓心，等線段長作為圓的半徑，實(shí)現(xiàn)輔助圓的構(gòu)建，再充分利用圓自身的特點(diǎn)解決問題.針對利用輔助圓求角度問題，求角度是中考不可缺少的一個考點(diǎn)，有些問題難度挺大，根據(jù)已知條件常常將公共頂點(diǎn)作為一個定點(diǎn)，作三角形的外接圓，通過等角和輔助圓之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)CKfh1e9l2jnJPCgl9Zvobg==對數(shù)學(xué)問題的解決.針對輔助圓求線段最值問題，這是初中幾何中常見的等角求最值問題，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)動中的不變量，通過構(gòu)造輔助圓，再利用三角形三邊關(guān)系，可輕松得出問題的正確答案[2].

2 妙用輔助圓巧解數(shù)學(xué)中考題策略

2.1 結(jié)合圓的定義，構(gòu)建輔助圓

如果初中生可以掌握畫輔助圓的本質(zhì)，那么解決數(shù)學(xué)問題就會比較簡單.圓是初中數(shù)學(xué)的重要知識，但學(xué)生采用單一的常規(guī)方式完成問題解決存在一定的難度，也會浪費(fèi)更多的時間，不利于學(xué)生在解題中積極性的建立.針對這一問題，通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建輔助圓，能夠?qū)栴}變得更加簡單，加深學(xué)生對知識內(nèi)容的理解.對于圓來說，描述性定義就是其中的一種，能夠?yàn)閷W(xué)生構(gòu)建輔助圓提供全面性支持.圓的描述性定義內(nèi)涵，是將線段繞一個端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓.對于定義中的旋轉(zhuǎn)，在中考題中出現(xiàn)“旋轉(zhuǎn)”變化，就可構(gòu)造一個以旋轉(zhuǎn)中心為圓心的輔助圓，進(jìn)一步將問題適當(dāng)轉(zhuǎn)化，方便學(xué)生更加深入地完成探究[3].

例1如圖1，已知OA=OB=OC，∠AOB=50°，求∠ACB的度數(shù).

常規(guī)思路：由OA=OB=OC，圖中有三個等腰三角形，利用兩底角相等，易求得∠OAB=∠OBA=65°，再設(shè)元或引進(jìn)參量，利用三角形內(nèi)角和定理得到一個數(shù)量關(guān)系，列方程求解，具體解法如下.

解法一：∵OA=OB，∠AOB=50°，

∴∠OAB=∠OBA=65°.

設(shè)AC與OB交于點(diǎn)D，∠ACB=x，∠OAC=y，

∴∠CAB=∠OAB－∠OAC=65°－y.

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=y.

又OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=x+y.

∴在△BOC中，∠BOC=180°－2（x+y）.

∵∠CAB+∠OBA=∠BOC+∠OCA，

∴65°－y+65°=180°－2（x+y）+y.

∴x=25°， 即∠ACB=25°.

按上面方法求解此題，學(xué)生會有一定難度.我們?nèi)绻渣c(diǎn)O為圓心，OA為半徑構(gòu)造輔助圓，再利用圓的性質(zhì)求解，就會把復(fù)雜問題簡單化.

解法二：∵OA=OB=OC，

∴A，B，C三點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的⊙O上（如圖2）.

∵AB=AB，

∴∠ACB= 1/2∠AOB.

∴∠ACB=1/2×50°=25°.

對比以上兩種解答過程，可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)圓的定義構(gòu)造輔助圓解題比用常規(guī)方法簡便很多，同時也印證了讓學(xué)生掌握這種方法的必要性.

2.2 結(jié)合圓的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化實(shí)際問題

對于圓的性質(zhì)而言，主要在于圓周角、弧、弦等之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，當(dāng)遇到角、線段問題時，可以引入輔助圓，借助圓的性質(zhì)可以更好地解決問題.其中，圓周角“動而不變”這一性質(zhì)又能充分體現(xiàn)出在中考數(shù)學(xué)題中的價值[4].圓的性質(zhì)中“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”這一內(nèi)容，同一條弧所對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個，雖然這些角的頂點(diǎn)位置發(fā)生變化但其角度不變，這就是“動而不變”性質(zhì)，可引導(dǎo)學(xué)生從這一性質(zhì)入手解決數(shù)學(xué)問題.

例2如圖3，B是線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線l和AC之間成60°的角，在直線l上取一點(diǎn)P，使得∠APB=30°，問滿足這樣條件的點(diǎn)P有多少個？

針對這一問題進(jìn)行分析，主要求滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)，需要以AB為邊作一個等邊三角形OAB，得到OA=OB=AB=BC，此時∠ABO=∠ACP=60°，OB∥l，然后以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑構(gòu)造⊙O，當(dāng)點(diǎn)O在AB上方時，如圖4，⊙O與l有2個交點(diǎn)P，P，滿足∠APB=1/2∠AOB=1/2×60°=30°.當(dāng)點(diǎn)O在AB下方時，如圖5，l與⊙O相離，沒有符合條件的點(diǎn)P.所以符合條件的點(diǎn)P只有兩個.

2.3 引入輔助圓，解決有關(guān)角度問題

對于初中幾何，有時求角的大小也是一個難點(diǎn)，通常將一個頂點(diǎn)作為定點(diǎn)，進(jìn)一步通過三角形完成外接圓的構(gòu)建，把握好等角和輔助圓之間的關(guān)系，要求學(xué)生能夠靈活綜合運(yùn)用圓的性質(zhì)，即根據(jù)同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等、所對的弦相等，構(gòu)造輔助圓.這類題目隱蔽性較強(qiáng)，學(xué)生不易想到，對思維的要求較高.

例3已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，且BD+AD=BC，求∠A的度數(shù).

對于此題，要引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件，由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠DBC.

聯(lián)想到若作△ABD的外接圓，如圖6，就可推出AD=DE.

由∠ABC+∠ADE=180°，∠EDC+∠ADE=180°，得到∠ABC=∠EDC.而∠ABC=∠C，所以∠EDC=∠C，于是DE=CE.

所以DE=CE=AD.

又因?yàn)锽D+AD=BC，而BE+CE=BC，于是BD=BE.

設(shè)∠ABD=∠DBC=x，則∠BED=∠BDE=180°－x/2，∠ABC=∠C=2x，∠A=180°－4x.

由圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，得∠A+∠BED=180°，則

180°－4x+180°－x/2=180°.

解得x=20°，所以∠A=100°.

通過引入輔助圓，強(qiáng)化學(xué)生邏輯思維的有效提升，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在知識和能力方面的共同進(jìn)步，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.4 引入輔助圓，求有關(guān)線段最值問題

在中考幾何解題中，求線段最值問題始終是個難點(diǎn)，學(xué)生對這類問題感到困惑，特別有一類求線段最值問題需要構(gòu)造輔助圓來解決，很多學(xué)生無從下手.關(guān)于圓的性質(zhì)，還要讓學(xué)生掌握一個與圓有關(guān)的最值結(jié)論：連接圓外一個定點(diǎn)與圓上的各動點(diǎn)的所有線段中，過圓心UFsMeBvlXNWmFDULkK1fjQ==時線段取得最小值和最大值.

如圖7中，A為圓O外一定點(diǎn)，P為圓O上的動點(diǎn)，我們可以作直線AO，使其與圓O有兩個交點(diǎn)P，P，此時AP1為最小值，AP2為最大值，利用這個基本知識，可以解決某些最值問題.

例4如圖8所示，△ABC為等邊三角形，AB=2，若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠ABP=∠BCP，求線段AP的最小值.

此題已知條件較少，看上去較簡單，但難倒了很多學(xué)生.分析后發(fā)現(xiàn)，∠ABP+∠PBC=60°，又∠ABP=∠BCP，可得∠BCP+∠PBC=60°.由內(nèi)角和定理，可得∠BPC=120°.

我們會發(fā)現(xiàn)P雖然是動點(diǎn)，但∠BPC的度數(shù)保持不變，引導(dǎo)學(xué)生想到圓的一個性質(zhì)：同弧或等弧所對的圓周角相等，也就是說角的頂點(diǎn)位置變了，但角度不變.所以點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡是一段弧，因此會很自然地想到構(gòu)造一個輔助圓，可以在BC下方作等邊三角形A′BC，然后作它的外接圓（如圖9）.根據(jù)∠A′=60°，利用圓的性質(zhì)，可得∠BPC=120°.

因?yàn)辄c(diǎn)P在△ABC內(nèi)，所以我們只要選取弦BC上方的一段弧就行了，點(diǎn)P在弦BC上方的那段弧運(yùn)動時，都能滿足∠BPC=120°.當(dāng)A，P，O三點(diǎn)不共線時，因?yàn)槿切蔚膬蛇呏钚∮诘谌叄陀蠥P>OA-OP；當(dāng)A，P，O三點(diǎn)共線時，AP=OA-OP，此時AP取得最小值[5].再利用等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)知識即可求得，可以連接OB，OA=2/cos 30°=4/33，OP=OB=1/2OA=2/33，所以AP=OA-OP=2/33，即線段AP的最小值為233.

此題是幾何中常見的等角求線段最值問題，學(xué)生要想到構(gòu)造輔助圓，要善于發(fā)現(xiàn)運(yùn)動中的不變量，挖掘有關(guān)信息，尋求解題思路，積累解題經(jīng)驗(yàn)，以提高嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力.

近年來，各省中考數(shù)學(xué)加強(qiáng)了對圓相關(guān)知識的考查，題型也比較創(chuàng)新和靈活.其中構(gòu)造輔助圓常常出現(xiàn)在中考數(shù)學(xué)試卷中，是一種能夠快捷且靈活地解決問題的方法，它可以將問題中的條件進(jìn)行簡單化呈現(xiàn).只有引導(dǎo)學(xué)生通過圓的性質(zhì)、定理之間內(nèi)在的關(guān)系，加強(qiáng)結(jié)論和條件之間的關(guān)聯(lián)性，從不同角度完成對問題的分析，這樣才能促使學(xué)生在問題解決中取得更好的效果，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量的有效提升，為學(xué)生今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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