結構化思考，模型化表達：幾何圖形探究

摘要：通過對一個動態變化的幾何圖形展開教學分析，引導學生從猜想到驗證、從定性到定量，進一步體驗幾何研究的基本方法，形成結構化思考的意識；從動中找靜、動中尋異，精準述異，啟發學生運用運動變化的觀點分析圖形，培養學生的數學理性思維，有效促進數學核心素養落地.

關鍵詞：運動變化；邏輯推理；模型

九年級綜合復習階段，教師常通過挖掘一道題的數學本質與內在學習線索，組織相關的數學探究活動，從而完成一節課的教學任務，以此達成多維目標.本例通過對一個幾何圖形的分析研究，讓學生經歷幾何命題的提出和證明過程，增強邏輯推理能力；經歷圖形分析與比較的過程，會用準確的數學語言描述研究對象的變化；借助圖形分析，形成解決問題的思路，發展模型觀念.

1 問題呈現

如圖1，正方形ABCD中，E是邊AD上的一動點，從點A出發沿AD方向運動，連接BE交對角線AC于點F，作FG⊥BE交邊CD于點G，連接BG.

問題1根據圖中的信息，你能得到哪些結論？

設計意圖：本問題看起來過于開放，設計時曾想提供些許支架，讓學生的思考更聚焦，但會失去本例的學習目標之一——“有序”意識，故仍堅持原設問，引導學生提取儲備信息，如特殊三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、特殊四邊形的性質、圓的性質等，經過初步梳理，得到關于幾何圖形中邊、角間的位置和數量關系.

2 教學實施

學生在獨立思考、直觀猜想、推理論證后，得出的結論顯然是凌亂的，教師引導學生對得到的結論進行了分類記錄，如：

2.1 在探尋結論中學會“有序”思考

2.2 在變量研究中體驗“模型”作用

問題2以上結果均為點E從A運動到D的過程中固定不變的關系，運動變化過程中，哪些量會發生變化？依據是什么？

設計意圖：幾何圖形在變化的過程中，存在一些固定不變的量或關系，如前面所得的結論，都是固定不變的關系；同時也存在會發生改變的量或關系.那么變化過程中哪些變化的關系值得研究？如何研究？本環節要求學生對變化的關系進行討論，引導學生利用圖形的對稱性等性質，直觀理解不同圖形面積的變化趨勢，能用適當的函數刻畫變量間的關系，預測變化結果，探究定性與定量的關系，體驗函數建模的過程； 促進學生體會和運用數學思想方法，獲得基本活動經驗，逐步形成數學核心素養.

設計意圖：課程標準提出，從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義，發展模型觀念.用符號表示數量關系和變化規律，是建立模型的過程[2].本例圖形變化中，如何設元是關鍵，不同的設元會得到不同的模型，故教師需引導學生進行必要的優化，因為E是AD邊上的動點（一般設AE＝x）；而求出模型的結果并討論結果的意義，是求解模型的過程，過程中涉及多個變量，如何應用已知條件進行轉化，學生會存在困難，教師需要啟發學生結合圖形之間的關系進行思考. 建立數形聯系，構建函數的直觀模型，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明，把握問題本質，明晰思維路徑.

圖3由于△AEF與四邊形EFCD的面積均非基本函數，教師此時借助幾何畫板呈現圖象（圖3），觀察到△AEF的面積在點E的運動過程中越來越大，而四邊形EFCD的面積則越來越小，函數模型準確刻畫了各圖形面積不同的變化過程.

2.3 在整理反思中歸納“思維”路徑

（1）整理

問題思考路徑：圖形變化—不變的量—變化的量—如何變—模型價值.

問題解決步驟：適當設元—列表達式—分析變化過程.

（2）思考

對平面幾何問題，可有以下思維路徑（如圖4）：

3 教學反思

3.1 選擇內容要關注核心知識

九年級復習過程中，內容的選擇應注重不同主題單元的有機關聯，讓知識上下貫通，形成網絡結構，同時，要注重引導學生形成“一般觀念”，體現數學的整體性與系統性.如本例通過在動態的圖形中觀察研究數學對象的“變”與“不變”，“如何變”，既讓知識結構化、方法有序化，也使學生能積累更高層次的問題解決觀念.

3.2 重視學生思維的深度參與

尋找結論時呈現結果的雜亂，顯示了學生學習過程的自然參與，凸顯了“有序思考”的地位.從不變到變化，從猜想到驗證，從廣泛到聚焦，本例設計有層次、有關聯及系列化的問題串進行驅動，可以讓學生有效投入到豐富多彩的學習活動中，讓學生有充分的體驗過程，發現、提出問題，并用數學的思維思考、解決問題，用數學的語言表達問題，這種充滿理性思維的學習過程，是走向深度學習的關鍵.

3.3 重視思維方法的顯化提煉

培養學生形成正確的思維方法是數學教學的根本目標.本例中，引導學生“按序”將文字語言和圖形語言互譯，是思維方法；滲透變化與對應的思想，通過對運動變化的問題進行量化研究，進一步理解變量間存在的對應規律，并形成用函數模型解決問題的策略，也是基本的數學思維方法.而這，都需要在教學中設計從內隱到外顯的邏輯通道.

參考文獻：

[1]章建躍.章建躍數學教育隨想錄：上卷[M]. 杭州：浙江教育出版社，2018：411.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：10.