基于深度學習的探究性教學活動設計

摘要：在深度學習理論的指導下，充分整合人教版、滬科版初中教材中“不等式及其基本性質”的相關教學內容，借助幾何畫板軟件，以數軸為主線創設問題背景，將數軸上的線段AB或左右平移，或以原點O為位似中心進行同向（反向）縮放來設計教學活動，引導學生進行“探究性學習”.

關鍵詞：深度學習;數軸;探究實踐

1 研究背景

滬科版初中數學教材將“不等式及其基本性質”安排在第七章第一節〔七年級（下））〕，它建立在“等式的基本性質”及“實數的大小比較”等基礎上，為后續“解不等式（組）”等知識的學習提供理論支撐，故本節課學習內容具有承上啟下的作用，合適的教學可以幫助學生建立更為整體的知識結構.

教材首先以學生熟悉的天平為問題情境讓學生體會不等式的性質1與性質2，然后借助數軸直觀地表示出不相等的兩數a，b（a>b）的相反數－a，－b，并進行大小比較，以體會不等式的的性質3.

如此設計，尊重了學生的知識經驗，注重了知識的形成過程，符合學生的認知規律.但是，筆者認為，如此編寫，似乎缺少一條將它們串為一體的主線，有浮于淺層學習之嫌，故需要引導學生對不等式的基本性質進行深度學習.筆者通過實踐發現，巧借數軸創設問題情境來引導學生對不等式的基本性質進行探究，更好地滲透數形結合思想，幫助學生理解性質，強化其探究意識，提升發展性學力.

2 探究實踐

“探究性學習”（又稱發現性學習）是指教師創設一定的問題情境后便放手讓學生經歷觀察、討論、猜想、驗證和推理證明等探究活動，從而引導學生發現規律、認識新知和挖掘思想方法的學習活動，意在培養學生的發展性學力，是一種較為受到推崇且具有較強可塑性與發展性的學習方式.

2.1 不等式性質1的探究性學習

提出問題：我們知道“等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個整式，等式仍然成立”，那么，不等式是否也具有類似的性質呢？

實踐操作：（1）4_____1，4+3_____1+3，4－3_____1－3（用“＞”或“＜”填空）；（2）由上述結果，你發現了什么規律？請說出你的猜想.

討論猜想：（性質1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.用式子表示為“若a<b，則a+c<b+c”.

再次驗證：利用教材中的天平實驗加以驗證.

深入探究：你能借用數軸說明不等式的性質1嗎？（雖然學生知道“任意實數都可用數軸上的點來表示，而且數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數”，但對如何用數軸來說明不等式的基本性質1缺乏應用的認知經驗，可能比較茫然，甚至無從下手，教師不妨通過如下驅動問題引導學生大膽嘗試.）

問題1-1如圖1，將數軸（1）上的線段AB沿著數軸正方向平移m個單位長度得到數軸（2）上的線段A1B1.

說明：為了便于學生觀察，筆者將線段AB在數軸上移動前后的位置用互相平行且原點對齊、單位長度相同的兩條數軸（1）（2）表示，下同.

由于沒有指定線段AB在數軸上的具體位置，學生的構圖一定會豐富多彩，教師可選用幾種有代表性的圖在黑板上展示（如線段A1B1相對于線段AB的位置有重疊仍位于右側、有重疊位于左側、全部位于左側等）.

問題1-2線段AB與A1B1兩端點表示的數之間有什么關系嗎？〔意在引導學生觀察出線段A1B1兩端點表示的數比線段AB兩端點表示的數增加（或減少）的值相同.〕

問題1-3你能借用圖2說明不等式的基本性質1嗎？（啟發學生完成表1，并思考借用數軸說明不等式基本性質的本質與依據.）

其本質就是在數軸上將線段AB進行左右平移，平移后線段兩端點所表示的數之間的大小關系不變，依據為在數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數.

2.2 不等式性質2與性質3的探究性學習

問題2-1我們類比等式的基本性質1得到了不等式的性質1，那么，還能得到不等式的其他性質嗎？

類比等式性質2“等式的兩邊同時乘（或除以）同一個數（除數不為零）或同一個整式，等式仍然成立”，學生常常會直接猜想“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個數（除數不為零），不等號的方向不變；用式子表示為：若a<b，c≠0，則ac<bc”.

此時，通過反例引導學生反思，需對c的符號進行分類討論，進而得出不等式的性質2與性質3.

說明：此處沒有沿用性質1的處理方式，主要基于兩點.其一，通過開放的問題放手讓學生自己探究，以充分發揮學生的主體作用，讓他們經歷性質的生成過程，不僅能學會類比遷移，更能完善認知問題的思維方式；其二，性質2與性質3是一對關聯性極強的性質，同時研究有利于學生對比學習，厘清二者之間的關系，并優化思維的嚴謹性.

再次探究：你能仿照性質1的探究方式，也借用數軸來說明不等式的性質2與性質3嗎？

說明：有不等式性質1的探究經歷，對于當c是正整數且a，b均為正數時，學生易想到構圖，取c=3，即將線段AB上每一個點的橫坐標都擴大為原來的3倍構出圖2來說明不等式的性質2.

類似地，當a，b異號或均為負數時，學生也不難理解與構圖，但當c為正分數時，學生處理起來又稍感棘手了.

問題2-2什么是分數？它與整數之間有什么關系？

說明：通過正分數c可以表示為n/m（m，n均為正整數且互質）形式引導學生思考，當不等式a<b兩邊同乘正分數c時，實際上就是先把a，b分別進行m等分，再把靠近原點的一份擴大到原來的n倍（當然也先可擴大到原來的n倍，再把結果m等分）.現以c=23為例構造出圖3，并借助圖3解讀不等式的基本性質2.

試根據圖3完成表2.

問題2-3如何借助數軸來說明不等式的基本性質3呢？

說明：通過負數c可以表示成－1×（－c），引導學生思考，當不等式a<b兩邊同乘－1，實際上就是在數軸上找出數a，b的相反數（即在數軸上找到表示數a，b的點關于原點的對稱點），再運用不等式的性質2（－c可以是正整數，也可以是正分數），以c=－2為例不難構造出圖4.

試根據圖4完成表3.

2.3 不等式性質4的探究性學習

類比猜想：我們知道等式具有傳遞性，即“若a=b，b=c，則a=c”，不等式是否也有類似的性質呢？（學生會直接猜想到“若a<b，b<c，則a<c”.）

再次探究：你還能借用數軸說明不等式的性質4嗎？

說明：學生經歷了用數軸探究不等式的基本性質1～3，已積累了一定的認知經驗，對用數軸探究不等式的性質4幾乎沒有困難，因此教師放手讓學生設計問題自主探究.并選派代表到黑板上進行成果展示.

問題3-1如圖5，已知點A，B在數軸上所對應的數分別是a，b，且滿足a<b.現有數c滿足b<c，試確定數a所對應的點C在數軸上的大致位置.

說明：由于b<c，那么表示數c的點總在表示數b的點的右邊，因此數a，b，c分別對應數軸自左向右依次排列著的點A，B，C，如圖5.

問題3-2點A，B，C所表示的數a，b，c之間有何大小關系？（意在引導學生觀察，根據數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，判斷出點A，B，C所表示的數a，b，c之間的大小關系.）

不等式性質5——不等式的對稱性，因簡單易理解，本文不再贅述.

3 教學反思

“深度學習”是指學習者在理解的基礎上批判性地學習新的思想和事實，并把它們融入原有的認知結構中，且能夠在眾多思想間建立聯系，進而遷移到新的情境中，作出決策和解決問題.它不僅給學生提供了更多自主探究的空間，而且還豐富了學生的知識結構和學習過程，既強調了對基礎知識的掌握，也強調了學生的思維能力和創新能力的發展[1].2022年版新課程標準教材編寫建議指出“……有利于引發學生思考，素材選取要貼近學生的現實，真實可信……”；教學建議指出“……選擇能引發學生思考的教學方式，……，注重信息技術與數學教學的整合”［2］.本探究性教學活動的設計是在充分整合人教版與滬科版七年級教材的前提下，借助幾何畫板軟件，以數軸為主線創設問題背景，將數軸上的線段AB或左右平移，或以原點O為位似中心進行同向（反向）縮放，引導學生經歷觀察、思考、交流、驗證、歸納、總結等探究活動，將“深度學習”與“探究性學習”有機整合.這樣不僅可以讓學生體會類比、分類、數形結合等數學思想的合理運用及研究不等式基本性質的新思路、新方法，加深對性質的理解，拓寬思維視角，培養探究能力；同時，借助線段在數軸上的左右平移、放大或縮小、已知點關于原點中心對稱等操作活動，創設靈動課堂，為學生的的動手操作能力及直觀想象能力的培養發揮了積極的作用.

參考文獻：

［1］劉華為.基于深度學習的初中數學課堂教學[M].上海：華東師范大學出版社，2020.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.