構建起數學學習的基石

因為方程與函數二者聯系緊密，可以相互轉化來求解，所以熟練掌握與方程有關的知識對數學學習來說至關重要。本文將聚焦人教版小學數學五年級上冊“簡易方程”教學中的環節設置與落實情形，觀察簡易方程作為方程或者說函數的基礎知識是怎樣產生的，見證方程思想是如何幫助學生解決數學問題。

一、教材分析

“簡易方程”是學生初次接觸方程這個概念，所學的都是一元一次方程，其中最關鍵的部分是對于方程使用原理的理解以及應用過程的步驟。在初中階段，學生開始接觸二元一次方程和一次函數等有關知識，這些方程與函數知識都是在簡易方程的基礎上進行細分和延伸的。

“簡易方程”這一單元主要分為三個部分，第一部分理解用字母表示數的意義和作用，發展符號意識，學會在具體情境中發現它們的數量關系；第二部分則是初步了解方程的概念及意義，能夠根據實際情境列出具體的方程式；第三部分是利用等式關系嘗試尋找簡易方程的方法步驟，培養學生解決問題的能力。三個部分環環相扣，形成完整的思維過程，有助于學生形成探究思維。

二、學情分析

“簡易方程”的學習是在學生已經具備一定的算術知識、數量關系儲備的基礎上進行的，同時在之前的學習中，大家也接觸了少量的代數知識，如用字母表示運算規律、用符號表示數等。另外，學生在日常過程中也會接觸用字母表示數的知識，如在撲克牌中我們會使用A、J、Q等來表示不同的數字。這就是學生初步建立簡易方程探究思維的第一步。

同時，應用等式性質來尋找簡易方程的解決方法。在之前的學習中，學生已經對等式有了一定的了解。本單元的授課就是將之前的知識與新知識聯系起來，使學生構建起相關的知識網絡。

學生在數學學習中已經具有觀察、歸納、遷移、類推、合作探究等認知體驗，積累了大量的實際操作經驗。所以，在授課時，我們要在之前的基礎上，擴大學生對“數”的認識和運算范圍，在較為抽象的水平上進行探究和滲透，為初中階段函數思想的形成做準備。

三、教學目標

1.借助生活中的實例，初步認識用字母表示數的意義和作用。能夠用字母表示學過的運算規律和計算公式，能夠在具體情境中用字母表示常見的數量關系，學會根據字母所取的值求出含字母式子的值，培養符號意識。初步了解方程的概念及作用，學會應用等式的基本性質解簡易方程。

2.在探索現實世界數量關系的過程中體會歸納猜想、數形結合的數學思想，學會建模思想、化歸思想。

3.能夠發現生活中的數量關系及問題，體會兩個量之間的聯系與變化，用數學的方式解決問題。

4.感受數學來源于生活、應用于生活，積累數學探究活動經驗，培養解決問題的能力和模型思維。

四、教學重難點

教學重點：學會用字母表示數，利用數量關系寫出簡易方程，知道簡易方程的解題方式。

教學難點：體會符號意識，形成代數思維，建立方程思想，注意模型滲透。

五、教學過程

★第一部分 用字母表示數

學生需要在教師的引導下通過現有的字母表示數的現象聯系生活中不同的數學現象，嘗試用一個字母表示數學問題中的未知數，通過不同的問題情境發現用字母表示數字在解決問題中的廣泛應用。

▲環節一：嘗試用字母表示數

師：同學們，大家好！最近小紅在和爸爸討論年齡，爸爸說他比小紅大30歲，你知道爸爸和小紅的年齡各是多少歲嗎？

生：從這個場景中我可以知道爸爸和小紅年齡之間的關系，可是不知道小紅具體的年齡，爸爸的年齡也無法確定。要是我們知道小紅的年齡就好了。假設小紅的年齡，相對應就可以得出爸爸的年齡。我們可以使用列表法進行回答。（學生出示假設的表格，表格略）

師：表中的這些式子，都只能表示某一年爸爸的年齡。你能用一個式子簡明地表示任何一年爸爸的年齡嗎？

生1：我知道，爸爸的年齡等于小紅的年齡+30歲。

生2：我覺得在式子中有兩部分都用漢字表示太麻煩了，能不能找到一個簡潔的式子來表示它們呢？

生3：我在撲克牌里見到過用一個英文字母表示數字。我們也可以用字母來表示這個式子中小紅的年齡。例如，我們用a表示小紅的年齡，這個式子就可以表示為爸爸的年齡是a+30。

師：同學們的思維非常迅速，可是用字母表示的這個數字，我們可以取任意的數值嗎？

生：在我們的式子里，這個數字不是一個特定的數字，小紅的年齡并不是確定的，所以字母表示的數值不確定。

師：那a可以是200嗎？

生：用字母表示的數字取值也要根據實際情況進行調整，我們雖然使用字母表示了數字，但這并不意味著它能夠取任意的數字，需要結合實際情境。

師：我們在加減法式子中可以用字母表示數字，在乘除法中也能這樣使用嗎？讓我們通過宇航員叔叔的疑惑進行探究吧！在月球上，人能舉起的物體質量是地球上的6倍。你能用含有字母的式子表示人在月球上能舉起的物體質量嗎？

生：我們利用在加減法中的經驗可以通過列表法表示出一部分物體的質量（如表1）。

表1

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通過觀察表1發現這個等量關系中的未知數是在地球上能舉起的物體質量，根據它的數值變化，在月球上的物體質量也會發生變化，所以我們用x來表示這個未知數，即人在地球上能舉起的物體質量，那么在月球上能舉起的物體質量為x×6。所以在乘除法中字母也能發揮出它應有的作用。

師：其實在乘法表示時，我們通常會省略乘號進行表示，同時將數字寫在字母前面，即6x。通過兩個具體事例的探究，我們可以發現式子中的字母既可以在加減法中使用，也可以在乘除法中發揮相同的作用。

▲環節二：用字母表示運算規律和計算公式

師：在之前的學習中，我們已經知道了字母能夠表示數字，關于數字間的運算規律也可以利用字母進行表示嗎？請你試一試。（學生根據表2內容嘗試填表）

表2

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生：在小紅和爸爸的年齡問題中，我只使用了一個字母進行表示，如果兩個都用字母表示，我就能夠得到一個等式。就像表2中的運算規律一樣，使用字母表示數，可以將運算規律更加簡潔直觀地展示出來，方便記憶。

師：對于數字間的運算規律可以使用字母表示出來，那圖形的計算公式也可以嗎？一起用正方形的有關知識來試一試。

生：我們使用字母a表示正方形邊長，用S表示面積，用C表示周長。那么正方形的面積和周長公式可以寫成S=a×a和C=a×4。

師：為了方便我們記憶公式，可以將它們進行簡化，例如S=a×a可以利用平方形式寫成S=a2，而在公式中出現數字的話，通常會把數字寫在前面，中間的乘號省略不寫。

生：那這樣的話，C=a×4就轉變為C=4a。

師：讓我們一起來計算邊長為6厘米的正方形面積吧？

生：我們使用字母來表示正方形面積的計算公式為S=a2，即在本題中，a的取值為6，所以正方形面積為S=62=36平方厘米。所以在使用字母后的等式或者說等量關系時，我們可以快速根據題目中的條件變化，找到需要代入數值的未知數，從而得到想要的答案，字母的使用能幫助我們清晰地分辨出已知條件以及結果，簡明易記，便于應用。

★第二部分 簡易方程

學生通過前一部分中字母可以表示的范圍的具體探究過程，了解到使用字母表示數可以幫助我們在面對數學問題時化繁為簡，將文字表現的數學問題通過簡潔的數學語言表示，從而得到一個含有字母的式子，同時與其有聯系的條件也可以使用字母，極大地幫助學生理清現有條件以及內在聯系。

▲環節三：嘗試代數關系

師：如果現在我們已經知道字母，你能夠根據數量關系寫出含字母的式子嗎？

1大杯果汁1200 g，從中倒出3小杯。如果每小杯果汁x g，你能用含有字母的式子表示大杯里的果汁還剩多少克嗎？

生：首先我們知道1杯果汁的克數，現在有3杯果汁被倒出，也就是3x g，我們一共有1200 g，剩余的果汁就是（1200-3x） g。此時根據得到的式子，只要我們確定字母的取值，就可以得到剩余的果汁克數了！

師：在實際問題中，我們還需要怎么做？

生：進行驗證，我們的果汁數量是一定的，如果每杯的克數為400時，倒出3杯后，杯中就無剩余了，所以400就是我們可以取的最大值。

師：那在整個過程中，式子中的字母可以表示哪些數呢？

生：在整個表示過程中，字母既表示了一小杯果汁的克數，同時利用現有的等量關系，字母還表示出剩余果汁的克數，所以式子中的字母表示的數范圍有很多，小數、分數均有可能。另外，復雜的數量關系用字母表示會更加清晰，方便我們梳理不同數值間的關系。

▲環節四：列出簡易方程

師：觀察圖1，如果老師擺了x個三角形和x個正方形，你能知道老師一共用了多少根小棒嗎？

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圖1

生1：首先我們需要知道一個三角形是3根小棒，一個正方形是4根小棒。

生2：如果有x個三角形，說明三角形一共使用3x根小棒，x個正方形就是4x根小棒。

生3：一共使用的小棒就是（3x+4x）根。我們就可以利用加法結合律將式子進行簡化為3x+4x=（3+4）x=7x，所以，一共用了7x根小棒。

師：在整個過程中，你發現了什么呢？

生：我發現數字運算規律，在用字母表示的式子中也同樣適用，這樣就可以幫助我們對列出的多個含有字母的式子進行化簡。

★第三部分 解簡易方程

教師引導學生明白方程的含義，使用含有字母的式子列出簡易方程，并理解解簡易方程的原理，學會解簡易方程的方法。

▲環節五：等式與方程

師：在實驗中，我們使用了一種工具“天平”，它是一個公平審判官，只有左右兩個托盤中的物品重量相等才會平衡。（演示講解）現在老師進行一次測量，你能夠根據實驗寫出一個式子嗎？

生：50+50=100，這是一個等式。

師：你還能說出這樣的式子嗎？

生：我進行了空杯子的測量。天平一邊是杯子，另一邊是砝碼。當有兩個砝碼在托盤中時，二者平衡，也就是杯子重100克。

師：現在老師往杯子中加入水，你觀察天平發生了什么樣的變化？（不平衡）你知道杯子中水的質量是多少嗎？

生：不清楚，是一個未知數，可以用字母x表示。

師：不平衡的關系你可以用一個式子表示出來嗎？（100+x>100）這樣的式子叫做不等式。無論天平是否平衡，我們都可以用相應的式子來表示。當天平平衡時，我們可以用“＝”表示，天平不平衡時，可以用“＜”或“＞”表示。老師接著往托盤中加入了砝碼，你發現了什么？（天平平衡了）此時怎么表示它們之間的關系？

生：杯子的質量和水的質量與砝碼的質量相等了，用含字母的式子進行表示就是100+x=250。這是一個等量關系。看來我們想要寫出等式，就要找到它們之間的等量關系！

師：根據等量關系列出的含有未知數的等式就是我們所說的方程。

生：在天平引導下的等量關系中，我們可以將物體的質量作為未知數，根據它們之間的數量關系，列成滿足條件的等式，這個等式就是我們所說的方程。

師：觀察方程的概念，我們可以發現一個關鍵條件就是含有未知數，這是在等式的基礎上所必須的條件，也就是說等式的范圍要大于方程所覆蓋的部分，等式在只有自身含有未知數時才是方程。

▲環節六：解方程

在進行解方程前，學生已經學習了等式的兩個性質。

師：老師手中一共有9個球，其中盒子里有x個，盒子外有3個，你能知道盒子里有幾個球嗎？

生：我可以根據等量關系列出一個方程：x+3=9。

師：你可以通過數學方法嘗試解出這個字母的數字取值嗎？

生：我發現x+3=9中，我們可以使用等式的性質，等式兩邊同時減去3，等式左右兩邊仍然相等，這樣等式左邊化簡后就會變成只有一個未知數x，右邊就是它的取值。所以等式可以寫成x+3-3=9-3=6，即x=6。此時x的取值可以使方程成立。

師：我們把使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫作方程的解。在本題中就是方程的解。而這個求方程的解的過程叫作解方程。在嘗試解方程的過程中，我們有兩個關鍵點需要注意，你知道是什么嗎？

生：第一個關鍵點是需要找到問題中的等量關系，這是我們能夠列出方程的關鍵。第二個關鍵點就是我們需要熟練掌握等式的基本性質，這是我們解方程的關鍵。

師：所有的等式性質在方程求解中都適用嗎？將數量擴大到原來數量的2倍、3倍、4倍甚至更多呢？請同學們分小組對不同等式的性質在方程中是否可以使用進行討論。

生：原來等式的所有性質均可以在方程中進行使用，這對于我們方程的求解方法拓寬了更多的思路，在求解時的方法也就更加多樣化。

“簡易方程”是學生接觸數學方程思想的第一步，學生通過用字母表示數、簡易方程、解簡易方程三個部分環環相扣的學習，在教師的引導下認識了解方程、掌握解方程的基本方法和技巧，最終建立方程模型，體會數學建模的過程，形成數學抽象思維，為之后的數學學習與生活打下堅實的基礎。

（作者單位：甘肅省張家川縣平安鄉馬塬小學）

編輯：溫雪蓮