淺析泰勒公式在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

摘 要：泰勒公式是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，在研究和分析各種數(shù)學(xué)問題中有著重要的作用，其理論是研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面的重要工具.近幾年來高考的熱門題型比較大小，一般是先構(gòu)造模型，然后代入數(shù)值運(yùn)算及比較.學(xué)生往往在選擇函數(shù)模型方面有一定的難度.靈活正確地使用泰勒公式，可以使得解題更加方便，達(dá)到事半功倍的效果.探討泰勒公式在高考試題等知識領(lǐng)域的應(yīng)用有助于學(xué)生拓展思維、鍛煉能力.

關(guān)鍵詞：泰勒公式;比較大小;高中數(shù)學(xué)

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，其基本思想是用多項(xiàng)式逼近已知的函數(shù)，而這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)一般由給定函數(shù)的各階函數(shù)導(dǎo)數(shù)確定.它是研究函數(shù)極限與估計(jì)誤差等方面的重要工具[ 1 ]，正確利用泰勒公式來解決相關(guān)問題，可以達(dá)到事半功倍的效果.近幾年高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題解決過程中應(yīng)用泰勒展開式案例頗多.學(xué)習(xí)泰勒公式，并能學(xué)以致用可以更便捷解決函數(shù)類相關(guān)問題[ 1 ].

1 常用函數(shù)的泰勒展開式

首先，了解泰勒展開式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法[ 2 ].

1.1高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，面對復(fù)雜的函數(shù)問題時(shí)，常用函數(shù)泰勒展開式有以下幾個(gè)：

2 泰勒公式在近年高考試題中的應(yīng)用

2.1 教材中的應(yīng)用

在人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊A版（2019年版本）中第五章《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)參考題5第26題，英國著名的數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)拓展公式：

運(yùn)用泰勒公式在一些求具體函數(shù)實(shí)際數(shù)值時(shí)（尤其是當(dāng)項(xiàng)數(shù)比較少時(shí)函數(shù)取值）計(jì)算很方便.

2.2 高考中的常用泰勒展開式及其應(yīng)用

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的知識，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中適時(shí)拓展應(yīng)用，可以起到事半功倍的效果.在高中數(shù)學(xué)命題中的常用模式：（1）從泰勒公式的本身內(nèi)涵及其一般常用結(jié)論來設(shè)計(jì)題目.對于這類題目的命制，要求命題人在命題時(shí)必須對泰勒公式的內(nèi)涵全面深入了解，然后提煉出與中學(xué)數(shù)學(xué)相掛鉤的常用函數(shù).從泰勒公式一般結(jié)論出發(fā)，常考慮近似取值前幾項(xiàng)，通過逆推和具體化來命題，將泰勒公式進(jìn)行簡化和近似取值，并進(jìn)行四則運(yùn)算.（2）直接套用泰勒公式展開式進(jìn)行題目命題.這類題目可以直接用泰勒公式近似取值，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確[ 2 ].

高考中的常用泰勒展開式有：

從以上案例歸納出，對任意函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，并不一定用到f（x）的具體表達(dá)式，而結(jié)論往往是一般性的，試題的命制者出發(fā)點(diǎn)和思考點(diǎn)是奠定在綜合思維基礎(chǔ)上，將平時(shí)常用一般性的結(jié)論引進(jìn)到某些特定函數(shù)之中，然后構(gòu)造得到一些結(jié)構(gòu)整齊勻稱的式子.這類題目是多重思維的疊加，綜合考察學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，通常起到高考選擇題、填空題的壓軸作用[ 3 ].對大部分學(xué)生來說此類試題是陌生的，與他們平時(shí)訓(xùn)練的題目有所不同，非常規(guī)思路.這會使大部分學(xué)生感到困難，無從下手，束手無策，尤其在考試中有一定的壓力.而解決這類問題只要學(xué)生平時(shí)多了解一些泰勒公式的應(yīng)用，通過放縮等方法，比較兩個(gè)式子的大小，也就迎刃而解.

2.3 高考真題案例分析

A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、a<c<b

分析：從已知條件的中，選擇常用函數(shù)泰勒展開式得知

從以上分析中得c<a<b. 故選：C.

A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<a<b

分析：從已知條件的中，選擇常用函數(shù)泰勒展開式得知

從以上分析中得： a<b<c. 選A.

A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<a<b

將x=0.01，x=0.02，x=0.04代入以上泰勒公式即可得a，b，c值，

易得b<c<a. 故選：B.

由以上三個(gè)例子分析可知，泰勒公式在估值方面（尤其項(xiàng)數(shù)取值比較少時(shí)）一般非常準(zhǔn)確，所以，在碰到幾個(gè)超越函數(shù)比較相近又一時(shí)無從下手時(shí)往往可以考慮運(yùn)用泰勒公式.不難看出，泰勒公式在比較大小這類問題時(shí)，起著非常重要的作用，教師在高中實(shí)際教學(xué)中可以借助課后習(xí)題或平時(shí)拓展知識引入一些泰勒公式的知識，拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生思維能力，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

總之，利用泰勒公式對求解一些難度比較大的試題可以起到事半功倍的效果.利用泰勒公式前提是抓住函數(shù)的基本特征，靈活合理構(gòu)造函數(shù).在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，盡量不用除式，多用乘積表達(dá)逐步引入泰勒公式進(jìn)行估計(jì)，在讓學(xué)生了解估計(jì)與計(jì)算這類近似問題時(shí)會很方便，而且對于我們研究某些具體函數(shù)會起到一定的指導(dǎo)作用.近年高考中，比較喜歡考查的是比較實(shí)數(shù)大小，此時(shí)考慮運(yùn)用泰勒公式可以很快解決問題.這類問題一般出現(xiàn)在選擇題或填空題，常見的泰勒展開式也可以運(yùn)用于解決證明題或者是導(dǎo)數(shù)大題[ 3 ].

3 價(jià)值取向

近年來，在各級各類考試和高考命題中，命題者都很喜歡不等式ex≥x+1，lnx≤x-1的應(yīng)用，上面的不等式可以利用圖像說明結(jié)論.追其根本，這兩個(gè)不等式在某種程度上都來源于高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開式，在高等數(shù)學(xué)中，泰勒公式利用函數(shù)在某點(diǎn)的信息，描述其附近取值的公式.如果函數(shù)連續(xù)且平滑，那么泰勒公式可用這些導(dǎo)數(shù)值作為系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式.

向量、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等等以前在大學(xué)才能接觸到的知識點(diǎn)，已經(jīng)以探索、拓展、提升等形式滲透進(jìn)新教材、新高考.高考這一極其重要的選拔人才的考試中，高等數(shù)學(xué)常常作為高考命題出發(fā)點(diǎn)，考查學(xué)生的知識遷移能力，綜合分析問題能力以及應(yīng)用能力.培養(yǎng)并提高學(xué)生的創(chuàng)新思維，不僅要讓學(xué)生對各種常規(guī)題型、基礎(chǔ)題型等加以訓(xùn)練，還要培養(yǎng)學(xué)生換位思考問題的能力，努力站在命題者的角度去考慮問題[ 4 ].高中教師要用新課程標(biāo)準(zhǔn)審視常規(guī)教學(xué)，不斷地提高教研能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 孔珊珊. 泰勒公式在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用[J].濟(jì)寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32（3）：70-72.

[2] 潘勁松. 泰勒公式的證明及應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，10（2） ：16-21.

[3] 陳炳泉. 一道高考導(dǎo)數(shù)題的思考與探索[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（3）：59-62，66.

[4] 陳炳泉. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考一類常見導(dǎo)數(shù)題思考與探索[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（4）：45-48.