基于靜態和動態休止角的超細碳酸鈣離散元參數標定

摘要：【目的】獲得超細碳酸鈣準確的仿真模型參數，實現超細碳酸鈣的可靠仿真研究。【方法】將超細碳酸鈣精簡為軟質球形粒子，使用顆粒接觸縮放原理與量綱分析進行顆粒縮放，采用Hertz-Mindlin with JKR接觸模型，結合物理實驗和離散元軟件EDEM仿真實驗對超細碳酸鈣的靜態和動態休止角進行接觸參數標定。首先利用單因素實驗排除對靜態和動態休止角影響不顯著的參數。采用Box-Behnken實驗搭建靜態和動態的休止角和顯著性參數之間的回歸模型。將實際測定的靜態和動態休止角作為響應值，進而對靜態和動態休止角回歸模型求解獲得最佳的仿真參數組合，并對得到的仿真參數進行物理實驗驗證。【結果】得到顯著性參數的最佳組合為：超細碳酸鈣-超細碳酸鈣靜摩擦系數和滾動摩擦系數為0.36、0.31，超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數和滾動摩擦系數為0.38、0.22，離散元仿真實驗所得到的靜態動態休止角分別為42.5°和61.3°，與實測值的誤差分別為0.96%和1.32%，無明顯差異。【結論】參數標定后的接觸參數能夠應用于超細碳酸鈣離散元仿真。

關鍵詞：超細碳酸鈣；休止角；粒徑；參數標定；離散元

中圖分類號：TB44文獻標志碼：A

引用格式：

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CAI Wenyuan，WANGLiqiang，XULimin.Discrete elemental parameter calibration of ultrafine calcium carbonate based onstatic and dynamic angle of repose[J].China Powder Science and Technology，2024，30（4）：81-93.

隨著材料科學和工程技術的迅速發展，超細碳酸鈣因具有優異的物理化學性質而在眾多領域中展現出廣泛的應用前景。作為一種重要的無機粉體材料，超細碳酸鈣被廣泛應用于紙張、橡膠、涂料、食品與醫藥等行業，改善和增強產品性能。在這些應用中，顆粒的流動性、分散性以及在不同環境下的穩定性對材料的最終性能有著決定性的影響，因此，精確模擬和預測超細碳酸鈣顆粒的物理行為，對于指導實際生產和優化工藝流程具有重要意義。

離散元方法（discrete element method，DEM）作為一種有效的數值模擬技術，已被廣泛應用于顆粒材料的行為預測中。該方法通過模擬顆粒之間的相互作用，能夠在微觀尺度上預測材料的宏觀物理特性，然而要準確應用DEM模擬超細碳酸鈣粒子的行為，關鍵在于對模型中的參數進行精確的標定。離散元仿真參數標定通常采用直接測量與間接標定。直接測量法獲得的參數較為精確，不依賴離散元仿真軟件與顆粒接觸模型，但是對于粒徑較小的顆粒難以直接測量其參數，該方法僅在粒徑在毫米級以上的顆粒上使用較為合適。間接標定是離散元仿真中最常使用的標定手段，將宏觀物理層面的顆粒參數值作為響應值，通過改變仿真模擬參數組合，使得顆粒的宏觀響應測量值與離散元仿真模擬參數值相匹配。

超細碳酸鈣顆粒粒徑極小，即使在極小體積下顆粒數量也能達到數千萬到數億級別，遠超一般計算機處理能力的極限。有3種較為常用的方法可以解決此問題：計算機并行計算、均質化處理和顆粒縮放法（4。顆粒縮放法是目前應用最為廣泛的處理手段，通過增大原始體系中的粒徑來降低所需處理的離散單元數量，從而使得問題的解決成為可能，在短時間內以可行方式進行處理。針對此方法，任建莉等7通過將煤粉粒子尺寸放大后進行離散元模擬，驗證了顆粒縮放法的實際可行性。進一步地，一系列研究針對礦粉、生石灰19等粉料采用顆粒縮放法進行離散元仿真參數標定。此外，離散元仿真中接觸模型的選擇同樣重要，在超細碳酸鈣在螺旋輸送過程中，顆粒之間存在一定的黏結現象，而Hertz-Mindlin with JKR接觸模型同時考慮了彈性形變、摩擦和黏附等因素，更全面地描述了微觀尺度下的固體表面接觸行為，可以更準確地描述超細碳酸鈣顆粒的實際接觸情況。

鑒于此，本研究使用離散元分析軟件EDEM，采取JKR接觸模型并借助顆粒縮放理論，對超細碳酸鈣顆粒進行仿真模擬放大處理，選取超細碳酸鈣的靜態和動態休止角作為宏觀響應值，通過單因素實驗排除影響不顯著的參數，并利用響應面Box-Behnken設計方法對關鍵仿真參數進行標定，以獲得最佳離散元接觸參數組合，最終，通過靜態和動態休止角的實驗驗證，為超細碳酸鈣相關的螺旋輸送離散元仿真提供數據，對相關離散元仿真研究提供支持，以促進螺旋輸送機的設計和操作優化。

1材料與方法

1.1材料和儀器設備

材料：超細碳酸鈣（上海麥克林生化科技股份有限公司）。

儀器設備：BT-9300ST型激光粒度分布儀（丹東百特儀器有限公司）;SU1510型掃描電子顯微鏡（日本Hitachi公司）。

超細碳酸鈣經過干燥處理后，使用激光粒度分布儀測定粒徑分布。圖1所示為超細碳酸鈣顆粒的粒徑分布。d？o、d？o、d？分別表示顆粒累積體分數達10%、50%、90%時所對應的粒徑值，d？o=1.66 μm，d？o=3.85 μm，d，o=6.78 μm。

1.2顆粒縮放原理

1.2.1相似理論

為了確保離散元可以快速且精確地進行仿真，需改變離散元的仿真參數使顆粒改變尺寸后的仿真效果與原顆粒的靜動態特性相匹配，進而縮減粒子縮放構成的模擬誤差。Feng等借鑒傳統流體力學提出一種適合離散元的相似理論，該理論滿足3個相似原理，即運動相似理論、動力相似理論和幾何相似理論。運動相似即在不同模型中相鄰點的運動方向一致，以及在不同模型的縮放因數一致；動力相似理論即在必須考慮慣性力存在時，在原物理模型和縮放模型中所有顆粒上的力的比例一致；幾何相似原則是指在原物理模型和與縮放模型中粒子的堆積類型一致，且粒子尺度與顆粒域大小成比例。圖2所示為顆粒接觸模型。圖中R、R;為顆粒i、j的半徑；δ。為顆粒間的法向重疊量；a為接觸半徑；L為顆粒特征長度；F為一對顆粒接觸時的法向力。

式中：F為顆粒間合接觸力；R為顆粒半徑。

顆粒i在接觸時的應變與應力為

式中：ε為顆粒接觸應變量；L=2R;;σ為顆粒接觸應力；A為特征面積，A=L2。

顆粒相互之間作用關系的應力-應變可表示為

式中，δ為顆粒的位移。顆粒應變能E為：

對于模型中任意一個顆粒的運動均滿足牛頓第二定律，

式中：M為顆粒質量；δ為顆粒的速度；Q（t）為顆粒的合外力；t為顆粒的運動時間。

幾何相似性是指物理模型和縮放模型中顆粒堆積的形狀一致，顆粒尺寸與顆粒域成正比。力學相似性要求顆粒的應變、應力和應變能函數在2個模型中相同。動態相似性要求縮放前后，作用于顆粒上的力的比例關系相同。在這一背景下，設定縮放因數為h，縮放模型為m，物理模型為p。根據相似理論，各模型的物理量需滿足[12]：

假定q為原系統中任意物理量，縮放模型中對應的變量為q，物理模型與縮放模型之間各物理量的比例關系可表示為

式中：λ？為q的縮放因數，確定所有物理量的縮放因數即確定整個縮放模型。

1.2.2量綱分析

在顆粒縮放系統中的物理量相互之間存在一定關系，若選定一組基本物理量，其他物理量均可從選擇的基本物理量中推導得出。根據量綱分析法，若選擇時間[t]、密度[p]、長度[L]作為基本量，系統中任意物理量的量綱可表示為

則q的縮放因數λ，=λiλiλ，其中a、b、c均為常數。

若取λ=λ，=h，λ。=1，對彈性模量、應力與應變的縮放因數進行推導可表示為：

根據量綱分析，對于任意縮放因數h，假設保持顆粒材料密度不變，則顆粒彈性模量、應力與應變均保持不變。

根據式（2），顆粒的應變ε是無量綱量，并且與h無關，而應力與接觸力相關，為確保應力σ與h無關，顆粒的應力-應變函數需滿足σ（ε，R）=σ（ε），即應力僅與應變相關，與顆粒直徑無關。

由于超細碳酸鈣的特殊性質，因此接觸力模型選擇描述黏彈性球形顆粒的Hertz-Mindlin with JKR模型。根據JKR模型接觸理論，顆粒法向接觸力為：

式中：E*為顆粒有效彈性模量；R*為顆粒有效半徑；a為接觸半徑；△γ為顆粒表面自由能。有效彈性模量E*和有效半徑R*分別為

式中：E、E;為接觸顆粒i、j的彈性模量，v：、v;為接觸顆粒i、j的泊松比，R、R;為接觸顆粒i、j的半徑。

有效半徑R*與接觸半徑a的關系可表示為

將式（12）代入式（10），得

將式（13）轉換為應力-應變形式：

其中，顆粒的特征面積A=L2=（R*）2。在等式中，應變ε完全符合Hertz接觸理論并具備尺度不變性，而有效半徑R不具備該性質，因此JKR模型同樣不具備該性質。為了使該模型具備尺度不變性，需要確保△y/R*保持常數，意味著顆粒的表面自由能可以隨顆粒縮放而變化。根據以上分析，采用顆粒縮放法進行仿真模擬時，為了便于將仿真結果與試驗結果作對比，可以將材料的本征參數保持恒定，對接觸模型的相關參數進行標定從而保證模擬的準確性。

2參數標定過程

2.1物理模型與仿真模型

在參數標定過程中將靜態休止角和動態休止角作為響應指標能夠更好地反映顆粒的真實性能13。靜態休止角測試通常參照國家標準GB/T 16913—2008《粉塵物性試驗方法》，同時借鑒相關已有文獻對休止角的相關研究進行剖析和運用，采取注入限定底面法測定超細碳酸鈣休止角。

圖3所示為休止角測定儀器與三維仿真模型。圖3（a）為靜止休止角的測定儀器。在實驗中，把制備好的超細碳酸鈣慢慢倒入漏斗中，漏斗錐度為60°，漏斗流出直徑為5mm，通過玻璃棒微微攪散，以防粒子顆粒堵塞漏斗口。等到圓柱底盤倒出足量的超細碳酸鈣后，料盤直徑D為80 mm，圓柱底盤的上表面間隔漏斗下端口H為80 mm，終止向漏斗倒入粒子，當粒子的堆積高度不變時，測量料盤上超細碳酸鈣的堆積高度。超細碳酸鈣的靜態休止角根據公式（15）計算，重復測量5次后取平均值，超細碳酸鈣休止角平均值為41.8°。動態休止角的測定儀器如圖3（c）所示，旋轉圓筒直徑與長度為100 mm。測量時，將定量超細碳酸鈣填充至圓筒，當填充率達到25%后啟動電機，將轉速設置為恒定的50 r/min，使圓筒開始旋轉并記錄超細碳酸鈣的動態休止角畫面。重復測量5次后取平均值，超細碳酸鈣動態休止角的平均值為60.5°。

離散元仿真參數的設定涵蓋了粉體與幾何體的接觸參數、粉體與粉體之間的接觸參數以及粉體與三維幾何模型的本征參數。參考國內外文獻的離散元仿真參數的設定14-151，同時結合EDEM自帶的數據庫16進行初步設定。超細碳酸鈣的參數設定如下：泊松比為0.28，密度為2800 kg/m3，切變模量為1×10？～9×107，JKR表面能為0.0188～0.0454 J/m2。對于幾何模型，選用不銹鋼材料，由于粒子之間接觸特性受到形狀和粒徑等因素的影響，不能直接從手冊、文獻等資料中獲取，因而運用離散元虛擬試驗的方式進行參數標定。本研究中不同仿真參數變化范圍如表1所示。

靜態與動態休止角測定裝置的離散元模型按照實體模型比例1：1的形式在SolidWorks中創建，模型如圖3（b）、（d）所示。顆粒粒徑放大為1 mm，形狀使用球形[17-18]，顆粒的生成方法選擇Dynamic，生成速度設置為每秒5000個。靜態休止角模型在漏斗頂部建立顆粒工廠，顆粒總個數為20000;動態休止角模型中，顆粒總數量為5000，在顆粒達到靜止狀態后，在圓筒中心設置一個旋轉指令，轉速設置成50 r/min。由于應力波在粒子中傳播被仿真參數的影響，不同仿真中瑞利（Rayleigh）時間步長有所不同，因此選擇Rayleigh時間步長的1/5作為靜態和動態休止角模型的計算時間步長，并將仿真網格尺寸設置為最小球徑的3倍。

2.2仿真參數的響應面設計

2.2.1仿真參數單因素實驗

單因素實驗是一種常見的實驗設計方法，被廣泛用于探索和驗證特定變量對結果的影響。單因素實驗的關注點集中在一個自變量上，通過改變該自變量的取值，以觀察其對因變量的影響程度。相關文獻19-20表明，粒子JKR表面能、恢復系數以及切變模量對粒子休止角的影響較小，因此選取超細碳酸鈣的JKR表面能、超細碳酸鈣-超細碳酸鈣恢復系數、超細碳酸鈣-不銹鋼恢復系數、超細碳酸鈣顆粒的切變模量等4個離散元仿真參數進行單因素實驗，驗證4個仿真參數對其各自靜態和動態休止角的影響。圖4所示為各離散元仿真參數單因素實驗的結果。由圖可知，超細碳酸鈣-超細碳酸鈣恢復系數、JKR表面能對休止角幾乎無影響；切變模量的增大使得靜態休止角和動態休止角數值產生變化，但變化范圍不大。靜態休止角隨著超細碳酸鈣-不銹鋼恢復系數增大呈現略微減小，超細碳酸鈣-不銹鋼恢復系數達到0.3后，靜態休止角逐漸穩定。隨后的實驗中選擇以上4個仿真參數的中位數值進行標定。

2.2.2 Box-Behnken實驗和回歸模型

根據離散元仿真參數各單因素的結果，選取4個離散元仿真參數的中位數值進行實驗設計，Box-Behnken實驗常用于在多因素實驗中確定最佳的實驗參數組合，該方法通過對變量的選擇和水平設置進行優化，可以快速、有效地評估變量對響應的影響。Box-Behnken實驗參數列表與結果如表2和表3所示，共進行29組實驗。實驗因素包括超細碳酸鈣之間的靜摩擦系數A、滾動摩擦系數B、超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數C、滾動摩擦系數D。

表4所示為Box-Behnken實驗中的方差分析-靜態休止角。擬合模型P值小于0.0001，證明回歸模型有效；超細碳酸鈣-超細碳酸鈣靜摩擦系數、二次項C2的P值超細碳酸鈣-超細碳酸鈣滾動摩擦系數以及超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數都小于0.01，證明上述參數對靜態休止角的影響非常顯著;此外，決定系數R2和校正決定系數R2分別為0.958和0.916，均大于0.9，而預測決定系數R2pe=0.7893與校正決定系數差值小于0.2，證明模型能夠真實地反應實際情況。實驗的變異系數為6.53%，證明試驗具有較高的可靠性；失擬項P值為0.2892，大于0.05，表明模型良好，未出現彎曲失擬現象；實驗精密度為17.0698，證明該模型具有良好的精確度。

表5所示為Box-Behnken實驗中的方差分析-動態休止角。此擬合模型P值小于0.0001，證明回歸模型有效；超細碳酸鈣-超細碳酸鈣滾動摩擦系數和超細碳酸鈣-不銹鋼滾動摩擦系數均小于0.05，二次項A2、B2、C2、D2的P值均小于0.0005、超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數C的P值小于0.0001，證明上述參數對動態休止角的影響非常顯著;此外，決定系數R2和校正決定系數R2分別為0.958和0.9161，均大于0.9，而預測決定系數R2pe=0.814與校正決定系數差值小于0.2，證明模型可真實地反應實際情況。實驗的變異系數為6.76%，表明實驗有較高的可靠性；失擬項P值為0.6133，大于0.05，表明模型良好，未出現彎曲失擬現象；實驗精密度為14.86，證明模型具有良好的精確度。

靜態休止角θ以及動態休止角α與接觸參數的回歸方程分別為

3最佳參數組合的確定及仿真驗證

基于超細碳酸鈣實際的靜動態休止角為指標，通過Design-Expert軟件，經過尋找回歸方程的最佳解能夠獲得當超細碳酸鈣-超細碳酸鈣靜摩擦系數和滾動摩擦系數，不銹鋼-超細碳酸鈣靜摩擦系數以及滾動摩擦系數分別為0.36、0.31、0.38和0.22時，實際物理實驗與仿真試驗之間的休止角誤差最小。在最佳接觸參數組合下的休止角仿真實驗顯示，靜態休止角和動態休止角分別為42.2°和61.3°，與實測值相比誤差僅為0.96%和1.32%。圖5所示為仿真實驗結果與實際實驗值的對比圖，證明仿真結果與實驗值沒有顯著性差別。

4結論

1）超細碳酸鈣通過減小剛度和尺寸縮放極大地提高了離散元仿真的計算速度，利用離散元方法中的JKR模型對超細碳酸鈣的接觸參數進行標定。單因素實驗結果表明，在一定范圍內粒子的JKR表面能、恢復系數以及切變模量對靜態和動態休止角無明顯影響。

2）基于超細碳酸鈣的靜動態休止角的雙重響應指標，使用Box-Behnken響應面實驗方法，能夠更加準確地得到仿真顆粒的參數，從而使其更接近于真實狀態。從模型方差分析的結果可知，靜態休止角的顯著性參數為超細碳酸鈣-超細碳酸鈣靜摩擦系數、超細碳酸鈣-超細碳酸鈣滾動摩擦系數、超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數；動態休止角的顯著性參數為超細碳酸鈣-超細碳酸鈣滾動摩擦系數、超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數、超細碳酸鈣-不銹鋼滾動摩擦系數。

3）將實際休止角作為響應目標尋優求解，所得的最佳參數組合為超細碳酸鈣-超細碳酸鈣靜摩擦系數為0.36，滾動摩擦系數為0.31，超細碳酸鈣-不銹鋼靜摩擦系數為0.38，滾動摩擦系數為0.22。經過仿真驗證實驗，測得的仿真靜態休止角為42.2°，動態休止角為61.3°，實際實驗測得的靜態和動態休止角分別為41.8°和60.5°，二者誤差分別為0.96%和1.32%，說明利用粒子縮放理論標定后所獲得的接觸參數可成功應用于超細碳酸鈣的離散元仿真，且模擬值與實測值之間沒有顯著差異。

利益沖突聲明（Conflict of Interests）

所有作者聲明不存在利益沖突。

All authors disclose no relevant conflict of interests.

作者貢獻（Authors'Contributions）

蔡文源和徐立敏進行了方案設計，蔡文源和王利強參與了論文的寫作和修改。所有作者均閱讀并同意了最終稿件的提交。

CAI Wenyuan and XU Limin did the scheme design，CAIWenyuan and WANG Liqiang participated in thewriting and revision of the paper.All authors have read the last version of the paper and consented to itssubmission.

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Discrete elemental parameter calibration of ultrafine calcium carbonatebased on static and dynamic angle of repose

CAI Wenyuan1a，WANG Liqiang1，XU Limin2

1a.School of Mechanical Engineering，1b.Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology，JiangnanUniversity，Wuxi 214122，China;

2.Jiangsu Innovative Packaging Technology Co.，Ltd.，Yangzhou 225600，China

Abstract

Objective With the rapid development of material science and engineering technology，ultrafine calcium carbonate has shownbroad application prospects in various fields owning to its excellent physiochemical properties.As an important inorganic powdermaterial，it is widely used in industries such as paper，rubber，coatings，food，and pharmaceuticals to improve and enhanceproductperformance.Ultrafine calcium carbonate requires a parameter calibration process before conducting discrete elementsimulation to obtain precise simulation parameters.However，most existing simulation parameter calibration methods use thestatic angle of repose as a response variable，which cannot fully represent the real characteristics of ultrafine calcium carbonate.Therefore，to improve the accuracy of discrete element simulation parameters for ultrafine calcium carbonate，obtainaccuratesimulation model parameters，and achieve reliable simulation results，the simulation parameters of the ultrafine calcium carbon-ate need to be calibrated.

Methods Basic parameters such as particle size distribution，surfacemorphology，static and dynamic angles of repose of ultra-fine calcium carbonate were initially measured.Then，physical and simulation models of the static and dynamic angle of reposewere developed for parameter calibration.Due to the extremely small size of ultrafine calcium carbonate，the number of particlescan reach tens to hundreds of millions even in very small volumes，far exceeding the processing limit of ordinary computers.Therefore，particle scaling principle and dimensional analysis were used to scale the particles and reduce the ultrafine calciumcarbonate to soft spherical particles.The Hertz-Mindlin with JKR contact model takes into account factors such as elastic defor-mation，friction，andadhesion，providing a comprehensive description of the contact behavior of solid surfaces at the micro-scopicscale.This allows for an accurate depiction of actual contact situations.The contact parameters for its static and dynamicangles of repose were calibrated using the Hertz-Mindlin with JKR contact model，combined with physical tests and discrete ele-ment software EDEM simulation experiments.Parameters which had no significant effect on static and dynamic angles of reposewere excluded through single-factor tests.Box-Behnken test was used to establish regression models between the static anddynamic angles of repose and significant parameters.Using the measured static and dynamic angles of repose as the response val-ues，theoptimal simulation parameter combinations were obtained by solving the regression model and the then verified throughphysical experiments.

Results and Discussion The surface energy of JKR between ultrafine calcium carbonate was 0.0321 J·m2，the shear modulusof ultrafine calcium carbonate was 5×10？Pa，the restitution coefficient between ultrafine calcium carbonate particles was 0.3，and the restitution coefficient between ultrafine calcium carbonate and stainless steel was also 0.3.The optimal parameter com-bination for significant parameters was as follows：the static friction coefficient between ultrafine calcium carbonate was 0.36，the rlling friction coefficient between them was 0.31，the static friction coefficient between ultrafine calcium carbonate andstainless steel was 0.38，and the rolling friction cofficient between them was 0.22.The static and dynamic angles of reposeobtained by the discrete element simulation test were 42.5°and 61.3°，respectively.The static and dynamic angles of reposemeasured in actual experiments were 41.8°and 60.5°，respectively.The error between the physical experiment and the simula-tion experiment for the static angle of repose was 0.96%，and for the dynamic angle of repose，the error was 1.32%.There wasno significant difference between the experiment and the simulation results for both the static and dynamic angles of repose.

Conclusion The calculation speed of the discrete element simulation is greatly improved by reducing the stiffness and scalingdown dimensions of the ultrafine calcium carbonate.The contact parameters of the ultrafine calcium carbonate are calibratedusing the JKR model of the discrete element method.Based on the dual response indices of the static and dynamic repose anglesof ultrafine calcium carbonate，the Box-Behnken response surface test method can be used to obtain the parameters of simulatedparticles more accurately，bringing them closer to the real state.According to the results of variance analysis of the model，thesignificant parameters for the static repose angle are the static friction coefficient between ultrafine calcium carbonate particles，the rolling trictioncoetficient between ultratine calcium carbonate particles，and the static friction coetficient between ultratinecalcium carbonate particles and stainless steel.The significant parameters for dynamic repose angle are rolling friction coffi-cient between ultrafine calcium carbonate particles，static friction coficient between ultrafine calcium carbonate and stainlesssteel，and rolling friction coefficient between ultrafine calcium carbonate particles and stainless steel.The results verify theeffectiveness of the parameter calibration method，which can be used to conduct simulation experiments on ultrafine calcium car-bonate.This has significant engineering application value for the design and optimization of ultrafine calcium carbonate convey-ing equipment.

Keywords：ultrafine calcium carbonate;angle of repose;particlesize;parametercalibration;discrete element

（責任編輯：王雅靜）