變解題為解決問題的高中數學思維能力培養研究

摘要：教師的教學不僅僅要傳授知識，更要將知識技能、能力立意的教學轉變為以學生的素養為導向，使學生在遇到問題時能利用思維分析方法解決問題.本文從三個方面闡述了思維能力的培養策略，幫助學生突破思維障礙，提升數學素養.

關鍵詞：解決問題；思維提升；素養導向

課堂教學中，教師不僅要教授學生解題的方法和技巧，更要使學生掌握解決問題的能力.隨著新高考綜合改革的不斷推進，命題越來越突出應用性和創新性，這對學生的問題解決能力要求也逐漸提升.因此，學生機械地做題已經難以應對當前的高考難度，教師在傳統教學的基礎上需不斷反思與改進，在教學過程中注重提升學生解決問題的能力，變解題為解決問題.

1高中數學解題現狀分析

1.1學生基礎差

部分高中學生基礎知識薄弱，課堂學習效率比較低，導致一些基本的知識點和結構掌握不到位，從而對一些數學問題無從下手.久而久之，學生堆積的問題越來越多，就逐漸對數學產生了畏難心理.

1.2學生缺少思維能力的培養

傳統式解題教學時，教師不注重對學生思維能力的培養，缺少對題意理解與解題過程的思維引導.長此以往，導致學生在解題時思路單一、機械化.學生在解題時完全依賴教師的解題步驟“灌輸”，遇到教師講過的題型會依葫蘆畫瓢解決，遇到新題型或者略有變化的題目就無法獨立解題，對新題型束手無策.

1.3學生解題技能不足

學生能解決問題，但所運用的解題方法并不是最簡最優的.這類學生主觀思維被限制，缺乏深度審題和思考能力，靈活性不夠.如遇到一些可以特殊化解決的單選題時，也需要花費大量的時間去計算.

2高中數學解題教學轉變的意義

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養.”［1］數學高考試題聚焦學科核心素養，加強關鍵能力考查，突出展現思維過程，對學生思維的靈活性和創造性有較高的要求.因此，新高考背景下的高中數學教學要注重培養學生的思維能力以及解決問題的能力.

教師的解題教學不應只包括簡單地講解題過程，應注重教授學生解決問題的思路、技巧和方法，在解決實際問題的過程中不斷提升學生的思維能力.數學學科的每一個知識點都能衍生出不同的數學問題，培養學生的數學解題能力也并不是一朝一夕就能夠完成的，需要教師通過長期的、持續性的思維方式培養，才能幫助學生在解題過程中掌握具有自身思維特點的解題方式.［2］

3變解題為解決問題的高中數學思維能力培養的具體方法和策略

3.1選好典型例題，夯實解題基礎

課堂教學中，例題既是學生思想頓悟的起點，又是豐富學生認知結構的源泉，也是發展學生學科核心素養的途徑.教師可以通過典型例題精練的方式幫助學生打好解題基礎，鼓勵學生參與典型例題的分析和解答中.這樣不僅調動了學生的積極性與參與性，也發揮了學生學習的主體性，使學生的解題能力在此過程中穩步提高.

案例：在蘇教版《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》的《空間向量與立體幾何》章節教學中，空間角的計算較為常見.教師在引導學生用向量方法研究線線、線面以及面面夾角問題時，選取的課堂典型例題不求量多，但要有代表性.教師通過典型例題剖析，幫助學生厘清用向量法求角的常規思路：“基底法”和“建系法”.

例1在棱長為1的正四面體ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.

解法1：以CA，CB，CD作為基底，則MA=CA-12CB，CN=12（CA+CD）.

設向量CN與MA的夾角為θ，則直線AM和CN夾角的余弦值等于｜cosθ｜.

CN·MA=12（CA+CD）·CA-12CB=12·|CA|2-14CA·CB+12CD·CA-14CD·CB=12.又△ABC和△ACD均為等邊三角形，所以MA=CN=32.

cosθ=CN·MACNMA=1232·32=23，即直線AM和CN夾角的余弦值為23.

學生在掌握用基底法解決求夾角問題之后，教師可繼續引導學生思考是否可以用建系法解決此題.若能建系，向量就可坐標化，運算量就會大大減小.讓學生在圖形中探尋兩兩垂直的三條直線作為空間直角坐標系的坐標軸.在課堂實踐中，學生自主探索得出了以下建系的思路.

解法2：過點M作直線ME與平面BCD垂直，連接MD.分別以MC，MD，ME為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.建系之后易得到以下各點坐標.M（0，0，0），C12，0，0，D0，32，0.在求點A的坐標時，教師可以引導學生用點A在平面BCD內的射影位置來獲取點A的坐標.過點A作底面BCD的垂線，記射影為F，連接BF，CF，DF，可以證得△ABF，△ADF以及△ACF兩兩全等，進而得出BF=DF=CF，即射影F是△BCD的外心.又△BCD是等邊三角形，所以點F也是△BCD的重心，MF=13MD=13×32=36.在Rt△AMF中，MA=32 ，所以AF=MA2-MF2=63 ，得點A0，36，63.N是AD的中點，所以N0，33，36.進一步通過向量坐標運算得到直線AM和CN夾角的余弦值為23.

通過運算發現，這樣的建系似乎并沒有運算優勢，在求解點A的坐標時不少學生受阻.那么是否有更合適的建系方法能快速得出相關點的坐標.這時候比較靈活的學生會想到在正方體中構造正四面體.利用正方體建系求得正四面體的各個頂點坐標就簡便許多了.

解法3：設正方體邊長為1，建立如圖2所示的空間直角坐標系.在正方體中選取如圖所示的四個頂點A，B，C，D，構造出正四面體.

易得AM=-12，-1，-12，CN=-12，1，12，則cosθ=CN·AMCNAM=132·32=23.

課堂教學過程中，教師選擇經典案例并對其深度剖析，激發并活躍學生的思維.課堂上師生互動探索，讓學生在探究問題的過程中逐步掌握解決問題的基本方法和策略.通過不同的方法分析提升學生解題的素養和能力.

3.2優化審題訓練，培養審題習慣

審題是學生展開數學解題學習活動的第一步，也是最為關鍵的一步，對學生解題思路的明確、解題方法的選定起到舉足輕重的作用.教師需要引導學生在理解題意過程中運用多樣化的審題技巧，厘清題目當中所展現的邏輯關系，挖掘題目的隱藏條件，這樣才能提高學生解題的針對性和正確率.［3］

例2PA，PB，PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是多少？

學生對沒有圖象輔助，題目條件又少的問題往往犯難.解決此類題需要學生有一定的審題能力.本題通過畫出從點P出發的三條射線，利用立體幾何中點、線、面的位置關系可知PA，PB兩條相交的射線可以確定一個平面，所以平面PAB的位置與PA，PB的長度無關.直線PC與平面PAB所成角的大小也與PC的長度無關.所以通過仔細審題分析，此題可以對PA，PB，PC特殊化賦值，進而構造出空間立體圖形，然后求解.

取PA=PB=PC=1，構造的立體圖形是學生熟悉的正四面體，此題就迎刃而解了.

3.3培養解題向解決問題轉變的能力，提升數學素養

解題教學不僅僅是單純的知識復習和鞏固，更需要教師引導學生探索問題，并在問題解決過程中歸納知識，使其結構化、系統化.有效的思維方式能給學生提供明確的思考方向，使學生在大腦中形成數學概念與命題等表征結構，進而凝練成學習范式，使知識結構在歸納中豐盈完善，方法在總結中清晰明了，思維在發散中有效提升，實現知識向學科素養的實質性轉變.［4］

在日常的解題教學中，教師除了培養學生的基本知識和基本技能之外，還要不斷培養學生主動思考和勇于探究的精神.從精選例題夯實解題基礎出發，通過優化審題訓練，變解題為解決問題，從而提升學生數學素養與思維能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］黃春光.如何培養學生的數學解題能力［J］.讀寫算，2023（29）：38-40.

［3］黎超妍.高中數學教學中培養學生解題能力的實踐探究［J］.中學教學參考，2023（27）：62-64.

［4］毋曉迪，陳輝坤，劉彬芳.指向“問題解決”的高考試題研究及教學啟示——以2023年高考乙卷理科數學第12題為例［J］.理科考試研究，2023（23）：2-6.