找準(zhǔn)目標(biāo)巧妙切入，分類討論引領(lǐng)思想

摘要：分類討論思想作為基本數(shù)學(xué)思想之一，其應(yīng)用一直是高考數(shù)學(xué)試卷命題的一個(gè)重要方向.本文結(jié)合分類討論思想切入目標(biāo)的尋找與確定，從不同層面加以展開與應(yīng)用，并結(jié)合2023年高考真題進(jìn)行剖析，探尋目標(biāo)切入點(diǎn)，全面歸納總結(jié)應(yīng)用技巧，指導(dǎo)并引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；集合；函數(shù)；數(shù)列分類討論思想是高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)思想，其滲透于高考真題的方方面面.該思想可以將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題巧妙分解或分割成一些比較簡(jiǎn)單的基本性問題.

本文結(jié)合2023年高考真題中的實(shí)例，就分類討論思想，從不同層面的切入，基于概念應(yīng)用、參數(shù)取值、圖形位置以及運(yùn)算結(jié)果等不同場(chǎng)景，剖析分類討論思想，切入目標(biāo)方法，實(shí)現(xiàn)問題的突破，巧妙綜合應(yīng)用.

1抓住概念、法則、公式等進(jìn)行分類討論

數(shù)學(xué)中一些核心數(shù)學(xué)概念、法則以及公式是基于分類討論思想構(gòu)建的，如數(shù)學(xué)概念中絕對(duì)值的定義、分段函數(shù)的定義，數(shù)學(xué)公式中等比數(shù)列的求和公式等.在解決一些涉及函數(shù)、不等式、數(shù)列知識(shí)的問題時(shí)，經(jīng)常要借助分類討論思想來切入.

例1（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷第2題）設(shè)集合A={0，－a}，B={1，a－2，2a－2}，若AB，則a=（）.

A. 2B. 1C. 23D. －1

分析：解題時(shí)抓住兩個(gè)含參數(shù)集合間的包含關(guān)系，結(jié)合集合中元素的互異性，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程，就不同方程所求得的參數(shù)值進(jìn)行分類討論，結(jié)合參數(shù)值的取值情況以及對(duì)應(yīng)的集合，進(jìn)行必要的判斷與取舍.

解析：由題可知，AB，則a－2=0或2a－2=0.當(dāng)a－2=0時(shí)，解得a=2，則A={0，－2}，B={1，0，2}，不滿足條件AB，舍去；當(dāng)2a－2=0時(shí)，解得a=1，則A={0，－1}，B={1，－1，0}，滿足條件AB.綜上分析，a=1，故選擇答案B.

點(diǎn)評(píng)：熟練理解并掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的相關(guān)概念、法則、公式等，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是問題目標(biāo)切入的方向

，更是解決相關(guān)問題對(duì)分類討論思想應(yīng)用的依據(jù)與根本.在該問題中，兩個(gè)集合間的包含關(guān)系及其概念為利用分類討論思想解決問題提供了條件.

2結(jié)合參數(shù)取值、變量變化等進(jìn)行分類討論

一些涉及參數(shù)取值、變量變化的實(shí)際問題，如含參的函數(shù)、方程或不等式等應(yīng)用問題，往往也離不開分類討論思想的應(yīng)用，解題時(shí)要依托參數(shù)的分類來深入分析與求解.分類討論思想給問題的解決提供了基本的解題思維.在分類討論中，一定要注意對(duì)參數(shù)取值、變量變化的全部情況進(jìn)行討論，不能出現(xiàn)遺漏與偏差.

例2（2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題）已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）－x，討論f（x）的單調(diào)性.

分析：解題時(shí)依托含參函數(shù)及其表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)a的取值情況加以分類討論，在a≤0與a>0兩種不同情況下，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析與處理，探究函數(shù)的單調(diào)性.

解析：由題可知，f（x）的定義域?yàn)镽，且f′（x）=aex－1.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）<0，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，令f′（x）=aex－1=0，解得x=－lna，則當(dāng)x∈（－∞，－lna）時(shí)，f′（x）<0，故函數(shù)f（x）在（-∞，-ln a）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（－lna，+∞）時(shí)，f′（x）>0，故函數(shù)f（x）在（-ln a，+∞）上單調(diào)遞增.

綜上分析，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）在（－∞，－lna）上單調(diào)遞減，在（－lna，+∞）上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些含參數(shù)或變量的數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要結(jié)合參數(shù)、變量的取值或變化以及對(duì)所求結(jié)果的影響等方面進(jìn)行合理的分類討論，在不同場(chǎng)景下探討不同的結(jié)果.需要注意的是，在確定參數(shù)或變量的取值時(shí)，分類討論要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏.

3利用圖形位置、幾何形狀等進(jìn)行分類討論

數(shù)學(xué)中一些圖形（平面圖形、曲線、立體圖形等）的應(yīng)用問題，往往依托直觀想象，給分類討論提供了更多的應(yīng)用場(chǎng)景，如圖形中相關(guān)點(diǎn)的變化情況的分類討論，函數(shù)圖象的變形情況的分類討論，立體幾何圖形中相關(guān)元素的位置變動(dòng)情況的分類討論等，都可以采用分類討論思想來探究.

例3（2023年全國(guó)甲卷文科第16題）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，O為AC1的中點(diǎn).若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，則球O的半徑的取值范圍是.

分析：解題時(shí)利用正方體與球O的位置關(guān)系及其變化規(guī)律，確定當(dāng)球O是正方體的外接球時(shí)半徑達(dá)到最大，當(dāng)正方形是球O的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.利用圖形的不同情況加以分類討論，確定球O的半徑的最大值與最小值.

解析：設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球O是該正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)所求的球O的半徑最大.若球O的半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn).正方體的外接球直徑2R′為該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)AC1=43，即2R′=43，解得R′=23，故Rmax=23.

如圖1所示，分別取正方體的側(cè)棱AA1，BB1，CC1，DD1的中點(diǎn)M，H，G，N，顯然四邊形MNGH是邊長(zhǎng)為4的正方形，且O為正方形MNGH對(duì)角線的交點(diǎn).連接MG，可得MG=42，當(dāng)球O的一個(gè)大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓時(shí)，球O的半徑達(dá)到最小，即Rmin=22.

綜上分析，R∈［22，23］，故答案為［22，23］.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些與圖形有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如函數(shù)問題、幾何問題等，可借助平面幾何或立體幾何圖形的構(gòu)建，隨著點(diǎn)、線、面等的變化，按照?qǐng)D形位置的不同、形狀的差異變化等來進(jìn)行必要的分類討論.

4應(yīng)用運(yùn)算結(jié)果、性質(zhì)展開等進(jìn)行分類討論

數(shù)學(xué)中一些結(jié)果問題，也可以借助分類討論思想來分析或求解，如指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中含參的分析與求解便離不開對(duì)底數(shù)的分類討論，探究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)也離不開對(duì)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)取值的分類討論等，都是依托代數(shù)式、關(guān)系式等運(yùn)算變形后的結(jié)果來深入分析與應(yīng)用.

例4（2023年全國(guó)乙卷文科第18題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2=11，S10=40.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式.

（2）求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.

分析：第一小問借助基本量法確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式后，第二小問中，利用含絕對(duì)值的數(shù)列關(guān)系式來構(gòu)建新數(shù)列，通過對(duì)項(xiàng)數(shù)的不同取值加以分類討論，進(jìn)行數(shù)列求和與應(yīng)用.

解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

由題可知，a2=a1+d=11，

S10=10a1+10×92d=40，解得a1=13，d=-2，所以an=13－2（n－1）=15－2n.

（2）由（1）可知，a1=13，an=15－2n，則Sn=n（13+15-2n）2=14n－n2.

令an=15－2n>0，則n<152，且n∈N*.當(dāng)n≤7時(shí)，an>0，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=14n－n2；當(dāng)n≥8時(shí)，an<0，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=（a1+a2+…+a7）－（a8+a9+…+an）=S7－（Sn－S7）=2S7－Sn=2（14×7－72）－（14n－n2）=n2－14n+98.

綜上所述，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn=14n-n2，n≤7，n2-14n+98，n≥8.

點(diǎn)評(píng)：解決涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、基本性質(zhì)等的應(yīng)用問題時(shí)，需要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、函數(shù)的基本性質(zhì)、指數(shù)或?qū)?shù)的運(yùn)算與性質(zhì)等進(jìn)行必要的分類討論，為問題的進(jìn)一步解決指明方向.本題借助分類討論思想來確定不同條件下數(shù)列求和公式的表達(dá)式，利用“分段函數(shù)”形式來表示，是本題的一大亮點(diǎn).

作為基本數(shù)學(xué)思想之一的分類討論思想，是解決問題的一種重要邏輯方法，一直是歷年高考中的一個(gè)重點(diǎn)與熱點(diǎn)內(nèi)容，成為高考命題的一個(gè)重要靈魂思想，在解決問題中被廣泛應(yīng)用.在實(shí)際解題與應(yīng)用過程中，要回歸數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)，從教材入手，由知識(shí)引領(lǐng)，抓問題應(yīng)用，提煉數(shù)學(xué)思想方法，并通過合理的分類、歸納與遷移，熟練掌握.巧妙應(yīng)用分類討論思想，能夠有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).