數學折紙實驗的教學價值

摘要：在現實生活中，折紙不僅可以鍛煉手指的靈活性，還可以培養智力.數學折紙實驗是通過對不同形狀的紙片進行一系列的折疊操作，從而形成不同的幾何圖形，進而探索幾何圖形性質的數學實驗.在數學課堂中借助折紙實驗開展教學，不僅有助于學生掌握必備的基礎知識和基本技能，還可以培養學生的抽象思維和推理能力以及創新意識和實踐能力，并促進學生在情感態度與價值觀等方面的發展.

關鍵詞：折紙實驗；數學教學；核心素養

數學是研究數量關系和空間形式的科學，它源于對現實世界的抽象.本文通過設計貼近學生生活且有一定思維價值的折紙活動，變“聽”數學為“做”數學，使學生在課堂上手腦并用，更好地學習數學，培養學生自主探索、動手實踐和合作交流的能力.

1折紙實驗助力學生感悟數學

在自然數的基礎上，因為分配以及精確丈量土地和數學本身的需要產生了分數.在實際教學中，如何在學習了整數的基礎上，讓學生突破已有知識經驗來認識分數是學習的難點.對此，在教學中，教師可以通過折紙實驗讓學生直觀地對分數產生感性認識.例如，對于“拿出正方形紙片折一折，取其中一部分涂上顏色，涂色部分占正方形紙片的幾分之幾”這個問題，在折疊過程中，學生可以依據重合部分面積相等，輕松認識到正方形紙片被分XAbTG9IUVsAko+9xU4h7W9A9HfWQOXiB8ca88VJVOSE=成了面積相等的若干部分，并在進一步涂色的過程中，直觀感受分數的變化、分數的性質、分數的加法運算等.

幾何學習在歷史上經歷了三個階段：無意識的幾何學、科學的幾何學、論證的幾何學.在教學中，學生首先需要通過無意識的形式，或簡單的工藝勞作，或對自然界中的現象進行簡單觀察來熟悉幾何概念.其次在感性認識的基礎上，學生通過實驗歸納出一系列幾何事實.最后學生以推理演繹的形式學習幾何學的論證.

例如，在小學階段的“長方形和正方形的認識”的學習中，怎么認識它們的特征呢？對此，可結合學生的生活經驗，開展“折一折”的折紙實驗.在實驗過程中，學生會發現，把長方形對折一次，兩邊正好重合；對折兩次，四個角也正好重合，所以上下、左右兩組對邊分別相等，四個角相等.通過折紙活動學生認識到長方形對應邊、對應角相等的基本性質.對正方形可進行類比操作，讓學生掌握正方形四條邊都相等，四個角都相等的基本性質.此外，教師可讓學生進一步思考“如何用一張長方形紙片折出一張最大的正方形”，通過實驗將結果直觀地呈現到學生面前，幫助學生理解與掌握.在操作活動中，學生不僅積累了認識平面圖形特征的活動經驗，也為他們今后繼續研究其他平面圖形的特征打下基礎.

進入初中以后，學生的幾何學習逐步進入演繹論證的論證幾何學階段.對此，教師可通過“折三角形三線”的活動，讓學生經歷折三角形的高線、角平分線、中線的形成過程，借助折紙中“對應邊、對應角相等的基本性質”，加深對“三線”的認識，并探索出三條中線、三條角平分線、三條高線都交于一點的共同特征.同時，讓學生通過體會銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三條高線相交情況的不同，認識三角形中的重要線段.

綜上，在教學過程中，折紙實驗可以讓學生親身經歷知識產生的過程，使幾何概念、幾何事實以更加直觀的形態呈現在學生眼前.同時，在感性認識的基礎上，教師啟發學生進一步進行歸納論證，進而學習論證幾何學，發展學生的抽象思維與邏輯推理能力.

2折紙實驗啟發學生邏輯思考

用演繹法證明或者證偽一個數學命題之前，首先需要教師進行猜想，猜想需要通過直覺、觀察、類比、實驗或者其他經驗方法引導學生的思維.折紙實驗正是提供了激發學生猜想的契機，但隨著學生知識與思維水平的提高，折紙實驗的運用不應僅局限在對數學事實的發現上，還需要學生進一步思考事實背后的數學原理.學生在通過實驗方式獲得數學事實“如何”的基礎上，還要用演繹方式去證明“為何”是這樣的.

案例1：折等腰三角形.

活動要求：不限方法，從一張長方形紙片中剪出一個等腰三角形.思考并交流所剪的三角形為等腰三角形的理由.得到等腰三角形后，通過折疊操作，發現等腰三角形的軸對稱性，繼而探索出等腰三角形的性質，即等邊對等角、三線合一.

活動過程：學生通過折紙的方式剪出等腰三角形.通過折紙前后對應邊相等的基本活動經驗，學生發現等腰三角形腰相等的基本事實，并通過折疊等腰三角形，探索得出等腰三角形的基本性質.折紙實驗不僅可以幫助學生發現數學事實，還可以幫助學生尋找證明的方法.在折疊等腰三角形的過程中，借助“折三角形三線”中積累的基本活動經驗，學生從構造中線、高線、角平分線輔助線的方式進行邏輯論證.

案例2：折菱形.

活動過程：

（1）利用矩形紙片折出菱形.

把一張矩形紙片ABCD按照如下步驟進行折疊：

將矩形紙片ABCD沿某條直線折疊，使點B與點D重合，得到折痕與AD，BC的交點E，F（如圖1）.請你證明四邊形EBFD是菱形.

（2）利用三角形紙片折出菱形.

從矩形紙片中剪出一個三角形紙片ABC，按照圖2的步驟進行折疊：

①將三角形紙片ABC沿過點A的某條直線折疊，使AB與AC重合，得到折痕與AC的交點D；

②再將三角形紙片ABC沿某條直線折疊，使點A與點D重合，得到折痕與AB，AC的交點E，F.請你證明四邊形EAFD是菱形.

圖1圖2

（3）你還能設計出其他折出菱形的方法嗎？

在這個實驗過程中，以開放的問題，讓學生根據菱形的性質，探究操作方法.學生通過操作得到菱形，并用多種方法來說明所得到的四邊形為菱形.在此過程中，學生的數學思維得到啟發.學生從實驗中發現規律，獲得理解數學知識的現實材料，從而發展推理能力.

通過折紙活動，學生體驗到了探索、推理數學事實的動態過程.同時，帶著問題進行操作的教學方法，不僅提高了學生思考和理解問題的敏銳性，還幫助學生發展分析問題和解決問題的能力.

3折紙實驗促進學生深度思考

借助折疊實驗，學生在多次操作和不斷探索中，提高了分析問題與解決問題的能力.折紙活動的開放性，也給學生提供了想象的空間，并讓其發揮學習的自主性，進而提升創新意識和實踐能力.

案例3：折等邊三角形.

活動1： 如何用一張正方形紙片ABCD折出一個等邊三角形？

方法1：將紙片ABCD對折得到折痕EF，沿點C翻折紙片，使點C落在EF上的點M處，連接BM，△BCM即為所求的等邊三角形（如圖3）.

方法2：將紙片ABCD對折得到折痕EF，沿點A翻折紙片，使點A落在EF上的點M處，連接CM，△BCM即為所求的等邊三角形（如圖4）.

兩種方法都基于等邊三角形的判定方法——三邊相等.借助正方形邊長相等的知識，學生首先想到的是利用折疊的方式，使A、D兩點重合.在操作過程中，學生發現A、D的重合點在正方形的對邊中點連線上，從而受到啟發先將紙片對折得到折痕EF.

活動2： 如何用一張矩形紙片ABCD折出一個等邊三角形？

方法1：從矩形中折出一個正方形紙片，然后將問題轉化成活動1的問題.

方法2：類比活動1中的方法.

第1步，對折矩形紙片ABCD（AB>BC），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平.

第2步，再一次折疊紙片，使點C落在EF上的P處，并使折痕經過點B，得到折痕BG，連接PB、PC，得到△PBC（如圖5）.

方法3：運用活動1得到的結論.

第1步，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平.

第2步，再一次折疊紙片，使點A落到MN上的點G處，延長EG，交BC于點F，連接BE，交MN于點H，△BEF即為等邊三角形（如圖6）.

活動3：如何在正方形紙片中，折出一個最大的等邊三角形？

作為開放性設計的折紙實驗，設置階梯問題可以給學生空間，讓學生充分地思考問題，并借助已有的數學知識與折紙活動經驗，多角度發散思維.在折紙活動中，學生手、眼、腦三位一體協調發展，而層層遞進的問題設置，更是不斷推動著學生實踐能力和創新意識的發展.

4折紙實驗提升學生數學素養

在活動中驗證數學命題，不僅給學生的猜想提供機會，更是增加了數學學習的趣味性.靈活的折紙操作，讓學生看到生活中的數學，用數學的眼光觀察現實世界.折紙后的深度思考，啟發學生用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.

案例4：A4紙的秘密.

工作生活中印刷紙大小的變化規律：A0紙長度方向對折一半后變為A1紙；A1紙長度方向對折一半后變為A2紙；A2紙長度方向對折一半后變為A3紙；A3紙長度方向對折一半后變為A4紙……這種關系中蘊含著冪運算.為保證放大或縮小文檔不會出現圖文失真，A系列不同型號紙張的長寬比會保持固定的比值，所以不同型號紙張存在相似性.從相似的角度，

我們可以推理出A系列紙張的長寬比為2，也可以從折紙的角度去驗證它是否滿足長寬比為2.

如圖7所示，將矩形紙片ABCD（AD>DC）沿AF對折，使得點B落在AD邊上點E處，得到正方形AEFB.然后將AD沿AP折疊，使AD與AF重合.若點D與點F重合，則矩形ABCD長寬比為2.

折紙實驗的素材來源于日常生活，操作簡單，易于在課堂中實現.筆者曾經以亂扔紙飛機為契機，帶領學生探究紙飛機中折痕長度、折疊角度大小的活動.課堂上同學們都積極獻計獻策，靈活運用知識去解決設計的問題.課后，意猶未盡的學生們相互折紙，讓對方去求解.當學生對事物有了更深入的理解后，思維也會更深刻，活動也將不再局限于事物的表面.這次活動后，班級內也很少出現亂扔紙飛機的現象了.

5結語通過折紙活動，學生能關注到生活中與數學相關的信息，主動用數學的眼光看待生活.在深入思考折紙實驗中的數學問題時，學生能夠克服困難，樹立學好數學的信心，體會數學的價值，欣賞并嘗試創造數學美.同時，在活動過程中，學生也能養成認真勤奮、獨立思考、交流合作、反思質疑的學習習慣.