新課標背景下數學文化的教育價值探析*

摘要：數學是源于物質，植根于現實的文化，與人類生活和社會發展緊密關聯.數學知識與數學文化是相互影響、相輔相成的，有數學就必有數學文化，數學文化融入課堂教學是數學學科發展的需求.在當前新課標教育的背景下，高中數學教學中融入數學文化可以優化學生學習方式，激發學生學習興趣，提升學生數學素養，促進學生深度思考，培養學生建模能力.關鍵詞：新課標；高中數學；數學文化

數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及數學的概念和思想方法在形成和發展中所體現的文化特征與文化價值.［1］數學既是科學又是文化，因而其承載著人類文明中的思想和文化.數學教育作為基礎教育的重要組成部分，必然承擔著提升“文化自信”，落實“立德樹人”的重任.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）指出：“數學文化應融入數學教學活動.”［2］本文將從以下五個方面闡述新課標下高中數學教學中滲透數學文化的意義，旨在為促進學生發展提供助力.

1數學文化可以優化學生學習方式

在課堂教學過程中，教師可以以數學家的故事、軼聞為問題的背景，把課本中重要的定理、公式等知識點與之聯系起來，介紹數學家獲得發現的思想記錄，使學生理解知識的形成與發展脈絡，了解知識背后數學家們探索成果的那份執著，由此幫助學生加深對知識的記憶和掌握.通過這種方式，學生對于數學學科的知識點就會觸類旁通.

例1祖暅原理：冪勢既同，則積不容異，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.圖1是一個橢圓球形瓷凳，其軸截面為圖2中的實線圖形，兩段曲線是橢圓x29+y2a2=1的一部分，若瓷凳底面圓的直徑為4，高為6，則a2=；利用祖暅原理可求得該橢圓球形瓷凳的體積為.

解析：如圖3所示，以橢圓x29+y2a2=1的中心建立坐標系，

瓷凳底面圓的直徑為4，高為6，易得圖3中M（2，3），將點M坐標代入x29+y2a2=1，得a2=815.

圖4為橢圓x29+5y281=1旋轉形成橢圓球形的一半，圖5為圓柱挖去等底等高圓錐形的幾何體，其底面半徑為3，高和半橢圓球形相等.設OO1=h，即點P縱坐標為h，代入橢圓方程x29+5h281=1，解得x2=9-5h29，所以圓O1的面積S1=9-5h29π，圓柱中大圓的半徑為CA=3，a=95.由CB3=h95，可得小圓的半徑CB=53h.

于是圓環的面積S2=9-5h29π，易得S1=S2，根據祖暅原理可得圖4半橢圓球形的體積等于圖5幾何體的體積.又該瓷凳底面圓的直徑為4，高為6，即O1P=2，O1O=3，CB=5，

故體積為π×32×3-13π×（5）2×3=22π，故該瓷凳的體積為22π×2=44π.

顯然在解決上例的過程中，教師讓學生體會到了割補法和數學轉化的思想，滲透數學問題的人文素養，同時培養了學生的邏輯思維能力.數學文化融入數學課堂教學中，不僅能讓學生明確數學理論的出處，數學原理、性質、公理的由來，而且能改變一些學生對數學學科認知的枯燥、無聊思維，學生的學習積極性也會因此得到提高，可見數學文化、數學知識的良好結合會讓學生用更加積極的態度學習，從而優化學生的學習方式.

2數學文化可以激發學生學習興趣

天文學是最早運用于數學的科學領域，天文學家運用數學的傳統源遠流長，其中被譽為“天空立法者”的德國天文學家、物理學家、數學家開普勒（Kepler）在綜合天文學家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）30多年的天文觀測數據上，利用自己出色的數學建模能力，通過大量計算最終發現行星運行的三大定律，說明通過數學演算、數學建模來解釋天體物質狀況及事件規律，可以推動天文學的快速發展.同時，天文學的發展也推動了數學的發展，如對數、球面坐標、三角函數、微積分及非歐幾何等都源自天文學研究.在新教材和新高考的背景下，包含天文學情境的問題比比皆是.這部分內容是學生十分感興趣的，能激發他們的求知欲望，煥發他們的學習熱情.

例21970年4月24日，我國發射了自己的第一顆人造地球衛星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛星的新篇章.人造地球衛星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規律，即衛星的向徑（衛星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論正確的是（）.

A. 衛星向徑的取值范圍是［a-c，a+c］

B. 衛星在左半橢圓弧上的運行時間大于其在右半橢圓弧上的運行時間

C. 衛星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁

D. 衛星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小

解析：根據橢圓定義可知，衛星向徑的取值范圍是［a-c，a+c］，A正確.

根據在相同的時間內掃過的面積相等可知，衛星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間，所以B正確.

a-ca+c=1-e1+e=21+e-1，當比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C錯誤.

根據面積守恒規律，衛星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度最小，D正確.

故選ABD.

將天文學有效地融入數學課堂教學中，可充分地調動學生的學習熱情，提高課堂參與度，打破傳統教育模式的禁錮，讓學生通過數學文化喜歡上學習數學，積極主動地探索數學知識，在寓教于樂的過程中提高教學效率，從而使學生對數學產生濃厚的興趣.

3數學文化可以提升學生數學素養

雕塑是“凝固”的數學，不管是什么樣的雕塑，里面都存在數學.著名美國雕塑家、數學家海拉曼·費古生（Helaman Ferguson）認為“雕塑是數學傳播的有效途徑，數學是雕塑設計的清晰語言”.事實上，雕塑家們利用數學中的點、線、面、體、圓、球等多種數學元素，結合他們夢幻的靈感，按照他們認為恰到好處的比例進行組合就能構建一件優美的作品.可見數學發展史中流傳已久的歷史名題有著經典性、歷史性、趣味性等特點，是數學知識應用的重要源泉.最讓人感到美與和諧的比例就是黃金分割比，約為0.618，在高考的試題中就有體現.

例3（2019年全國數學高考Ⅰ卷第4題）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-125-12≈0.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（）.

A. 165cm

B. 175cm

C. 185cm

D. 190cm

解析：頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂到咽喉的長度小于26cm.

由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是5-12，

可得咽喉至肚臍的長度小于265-12=525-1≈42cm.

由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12，

可得肚臍至足底的長度小于26+525-15-12≈110cm，即該人的身高小于110+68=178cm.

又肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于105×5-12≈65cm，

即該人的身高大于65+105=170cm，故選B.

數學文化博大精深，體現了數學精神和思想，具備很高的教學價值.教師應采取有效的措施，將數學文化融入實際教學中，開闊學生的視野，促進學生探究精神的形成，從而提升學生的數學素養.

4數學文化可以促進學生深度思考

在教學中融入數學文化后，將眾多的知識點連成網，形成體系，讓學生理解數學的科學價值和理性精神，培養創新意識和探究能力，能夠促進學生對數學的深度思考.［3］

例4日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面上的影子來測定時間.現以地球為球體，地心記為O，地球上一點A的緯度是指OA與赤道所在平面所構成的角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.假設日晷處在點A的位置，赤道所在平面和晷面平行，且點A處緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角的大小為.

解析：畫出截面圖如圖6所示，其中CD是赤道所在平面的截線，l是點A處的水平面的截線，依題意可知OA⊥l，AB是晷針所在直線，m是晷面的截線，由于晷面和赤道所在的平面平行，所以m∥CD，根據線面垂直的定義可得AB⊥m.

由于∠AOC=40°，m∥CD，∴∠OAF=∠AOC=40°，由于∠OAF+∠EAF=∠BAE+∠EAF=90°，∴∠BAE=∠OAF=40°，即晷針與

點A處的水平面所成角為∠BAE=40°，故答案為40°.

本例所選取的材料源于中國古代用來測定時間的日晷，試題情境從綜合性和應用性的層面上考查了學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養，數學建模、運算求解等關鍵能力，以及球體有關計算、平面平行、線面垂直及平面幾何中的切線問題等必備知識.由此可見，數學文化可以促進學生深度思考，讓學生深刻體會到數學知識在生活領域的應用價值.因此，我們要讓數學文化滲透在數學教學的每一個角落，深入學生的骨髓，成為學生數學學習時的精神食糧.

5數學文化可以培養學生建模能力

數學建模與數學文化是“你中有我，我中有你”的關系，數學文化可以作為數學建模的背景和內容，數學建模則可以作為數學文化的載體和表現.數學建模能力的培養為數學文化的傳播提供載體，是傳播數學文化的一種重要手段.

千百年來，但凡有人的地方必有建筑，幾乎所有建筑中都蘊含著數學知識中的幾何學、數列、黃金比例和拓撲學.建筑師們說“建筑只有與數學結合，才更有神韻，數學賦予建筑活力，它的美也被建筑表現得淋漓盡致”.同時數學作為現代建筑的無價工具，建筑過程中的方案設計、圖紙構畫、工程預算、現場施工、工程驗收、工程評價等都需要數學參與其中.教師在課堂教學中可以根據需要選擇建筑的某個環節作為數學問題的背景，滲透數學文化，培養和提升學生的建模能力，將建筑問題轉化為數學問題予以解答.

5（2022年全國新高考Ⅱ卷第3題）中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現.圖7、圖8分別是某古建筑物的立體圖和剖面圖，其中AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步bd64a0c5b17053e2e504b18dd045933b，相鄰桁的脊步的比分別為DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，

若k1，k2，k3是公差為0.1的等差數列，直線OA的斜率為0.725，則k3=（）.

A. 0.75

B. 0.8

C. 0.85

D. 0.9

解析：設OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3.

由題意得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，

解得k3=0.9.故選D.

另外，教師要讓學生明白，中國在基建方面有非常多的成就

：①中國電網覆蓋面，排名世界第一；②高速公路通車里程超過16萬公里，排名世界第一；③高鐵總運營里程超過4萬公里，排名世界第一；④中國公路橋80萬座，鐵路橋20萬座，總量加起來100萬座，數量世界第一；⑤中國通信基站600多萬的覆蓋量，是美國的20多倍，數量世界第一；⑥中國高層建筑超35萬幢，百米以上超高層6000多幢，數量均居世界第一……

所有的“第一”都凝結著設計者、管理者、建設者的心血，都與數學有著千絲萬縷的關系.事實證明，數學建模是一條讓學生體會到數學價值的途徑；數學文化是一條讓學生了解數學知識來龍去脈的途徑.數學建模與數學文化的有機融合，是促進學生邏輯思維能力、實踐能力、反思創新能力等重要能力發展的途徑.

6結語

綜上，新課標注重數學文化的滲透，強調數學與生活以及其他學科的聯系，在數學教學中滲透數學文化，能讓學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.因此，數學教師有責任和義務在課堂教學中滲透數學文化，打造充滿文化魅力的數學課堂，把數學的科學性與人文性和諧地統一起來，全面地塑造和提升學生數學素養及人格素養，拓寬學生精神世界的廣度與深度，從而造就一代具有探索新知識、新方法的創造性思維能力的新人，體現文化育人、立德樹人的教育理念.

參考文獻

［1］祁平，任子朝，陳昂，等.基于數學文化視角的命題研究［J］.數學通報，2018（9）：19-24.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］吳金炳.數學文化在高中數學教學中的滲透策略探究［J］.數學學習與研究，2022（27）： 113-115.