例析水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

物體在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以是某一個(gè)力，也可以是幾個(gè)力的合力．當(dāng)物體的角速度或者線速度變化時(shí)，會(huì)引起物體受力的變化，受力的變化也會(huì)導(dǎo)致角速度或者線速度發(fā)生變化．物理量變化過程一般會(huì)涉及臨界問題，該類問題考查的知識(shí)內(nèi)容點(diǎn)多面廣，能力要求較高，學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向明顯，備受命題者青睞．

１ 支持力臨界

如果繩連接物體在圓錐體表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是繩的拉力，當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化時(shí)，會(huì)引起圓錐體表面的支持力的變化，當(dāng)支持為０時(shí)，往往物體的變化規(guī)律發(fā)生突變，抓住支持力為０時(shí)的物體的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，是解決問題的關(guān)鍵．

例１ 如圖１所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線豎直，母線與軸線之間夾角為θ，一條長(zhǎng)度為l 的輕繩，一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O 處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m 的小球（可看作質(zhì)點(diǎn)），小球以角速度ω 繞圓錐體的軸線做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線拉力F 隨ω２ 變化關(guān)系如圖２ 所示．重力加速度g 取１０m·s－２，由圖２可知（ ）．

A．小球的角速度為２.５rad·s－１時(shí)，剛離開錐面

B．母線與軸線之間夾角θ＝３０°

C．小球質(zhì)量為０.６kg

D．繩長(zhǎng)為l＝２m

解析 根據(jù)圖２可知，當(dāng)小球的角速度滿足ω２ ＝２５＇４rad２·s－２時(shí)，小球恰好要離開錐面，此時(shí)角速度為ω＝５／２rad·s－１，故選項(xiàng)A 正確．

當(dāng)小球?qū)⒁x開錐面時(shí)，繩子拉力與小球重力的合力提供向心力，有Fsinθ＝mω２lsinθ，即F＝mω２l．當(dāng)小球離開錐面后，設(shè)繩子與豎直方向的夾角為α，繩子拉力與小球重力的合力提供向心力，有Fsinα＝mω２lsinα，即F＝mω２l，則根據(jù)圖２，結(jié)合所得繩子拉力F 與ω２ 的函數(shù)關(guān)系可知，當(dāng)小球離開錐面后ml＝１kgm．當(dāng)小球未離開錐面時(shí)，分析小球受力情況，水平方向根據(jù)牛頓第二定律有Fsinθ－FNcosθ＝mω２lsinθ，豎直方向根據(jù)平衡條件有Fcosθ＋FNsinθ＝mg，聯(lián)立可得F ＝mlsin２θω２＋mgcosθ，根據(jù)圖２，結(jié)合所得函數(shù)關(guān)系可得mlsin２θ＝ ９／２５kg·m，mgcosθ＝４N，聯(lián)立解得θ＝３７°，l＝２m，m ＝０.５kg．故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 細(xì)繩的拉力發(fā)生變化時(shí)，圓錐體對(duì)小球的彈力也發(fā)生變化，圓錐體與小球間彈力為０是此類問題的臨界狀態(tài)．

２ 細(xì)繩拉力臨界

當(dāng)細(xì)繩的拉力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí)，細(xì)繩的拉力往往隨物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化而變化，涉及兩條細(xì)繩時(shí)，哪條細(xì)繩先達(dá)到臨界狀態(tài)是分析的重點(diǎn)．

例２ 如圖３所示，AP 為豎直轉(zhuǎn)軸，P 端放在地面上，細(xì)繩AC 和BC 的結(jié)點(diǎn)C 系一質(zhì)量為m 的小球，兩繩能承擔(dān)的最大拉力均為２.２５mg，當(dāng)AC 和BC 均拉直時(shí)∠ABC ＝９０°，∠ACB ＝５３°，細(xì)繩AC 長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝２ m，ABC 能繞豎直軸AP勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速增大時(shí)，兩繩均會(huì)被拉斷，g 取１０m·s－２，sin５３°＝0.８，cos５３°＝０.６．