高中階段橢圓軌道定量問題研究

高中物理中的“萬有引力與宇宙航行”這一章，探究天體運行的規律，主要分析圓形軌道模型———將真實的行星環繞太陽的橢圓軌道看成圓形軌道，然后應用勻速圓周運動的知識加以處理．這既是基于觀測的合理近似，從而大大簡化了問題且不失準確性，也是對復雜數學知識的回避，因為橢圓軌道上的動力學規律對數學能力有較高要求．雖然本章大多數的習題是考查圓形軌道模型，偶爾涉及橢圓軌道問題也多集中于定性判斷“向心運動”“離心運動”上，但隨著高考考查形式的不斷變化，關于橢圓軌道的定量計算問題不時出現在全國各地各類考試中，未來很可能成為高考的一個出題熱點．本文試著對高中階段處理橢圓軌道定量計算問題的方法加以歸納，總結一些規律，以圖提升同學們對于該問題的處理能力．

１ 方法指引

橢圓軌道問題涉及的物理知識（如在軌道的大多數位置切向、法向都有速度分量）和數學知識（如曲率半徑概念的應用）都比較復雜，通常無法直接使用牛頓第二定律列動力學方程．高中階段用來處理橢圓軌道的規律有以下幾個．

１）開普勒三定律

開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上．

開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等．

開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等．

這三條定律是天文學家開普勒總結觀測數據得到的，其中第二定律用今天的視角來看實質上是角動量守恒定律，角動量的概念高中沒有涉及，所以沒法給出證明．通過第二定律可以得到一個重要結論：行星在近日點的運行速度大于遠日點的運行速度．第一、第三定律需要高等數學的知識來證明，高中也無法完成．但是這三條定律在教材中明確給出了，考生可以直接應用解題，出題者也可以直接出題考查，或者以信息的方式呈現在題干中，以減輕考生解題負擔．

２）機械能守恒定律

橢圓軌道上，對于行星—太陽組成的系統，由于只有系統內萬有引力做功，所以這個系統的機械能守恒．我們總是假設太陽是靜止不動的，所以具體的守恒方程是：行星的動能＋行星與太陽間的引力勢能＝恒量．引力勢能公式Ep＝－G Mm/r 在教材上并沒有給出，所09151d776305c427c5367e81d9546a91f4f27e376d8291516c3a46d5759ca711以一般出題者會在題干中給出．

可以看出，如果想針對橢圓軌道問題出題，出題者需要考慮到高中教材的限制，將必要的信息提供給考生．相對地，考生也可以根據出題者在題干中給出的信息，獲得正確的思路，同時應用開普勒三定律、機械能守恒定律等規律加以解題．

２ 例題選講

例１ （２０１９年北京卷，有刪減）牛頓設想，把物體從高山上水平拋出，速度一次比一次大，落地點就一次比一次遠，如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運動，成為人造地球衛星．同樣是受地球引力，隨著拋出速度增大，物體會從做平拋運動逐漸變為做圓周運動，請分析原因．

分析 當拋出速度比較小，拋出點和落點所處范圍較小，此時引力可以視為恒力（重力），物體做平拋運動．當速度足夠大，拋出點與落點所處范圍極大，引力不可再視為恒力，而是指向球心的變力，物體可做圓周運動．這時可以進一步討論：由此看來，平拋運動只是一種近似，那么在拋出速度不斷增大，但物體尚未做圓周運動之前，物體實際的運動是什么？ 根據開普勒第一定律，物體可能做橢圓軌道運動，地球球心是橢圓軌道的一個焦點．

例２ 已知某衛星在赤道上空的圓形軌道運行，軌道半徑為r１，運行周期為T ，不計空氣阻力，萬有引力常量為G．

（１）求地球質量M 的大小;

（２）如圖１所示，假設某時刻，該衛星在A 點變軌進入橢圓軌道，近地點B 到地心距離為r２，求衛星在橢圓軌道上的周期T１．