初中數學圖象信息問題解題技巧

【摘要】圖象信息問題，是初中數學解題中的常見題目類型，要求學生根據題目中的數據、圖表信息，尋求題目中隱藏的數學關系，根據信息把握問題特征，找出解題方向，同時利用圖表相關知識解決問題.本文根據滬科版初中數學教材，結合常見的幾種圖象信息問題進行展示，幫助學生掌握此類問題的解題技巧，以期為提高學生解題能力提供有價值的借鑒資料.

【關鍵詞】圖象信息；初中數學；解題技巧

根據《義務教育數學課程標準》中的解釋，數學是一門普遍適用的技術，有助于人們收集、整理與描述信息，利用數學知識為社會創造價值.數學信息搜集整理與利用，是學生應當具備的數學學習能力，也是學生學習數學過程中逐漸形成的基本數學素養［1］.在初中數學解題中，有一類問題是圖象信息問題，考查學生對信息的搜集與整理能力，也要求學生具備一定的讀圖識圖、利用圖象尋找題目隱藏信息的能力.一般來說，圖象信息問題的題干描述較為復雜，且存在較多的隱藏條件，這就需要學生靈活運用圖表相關知識，發揮自身識讀與信息加工整理能力，解決問題.

1 利用表格數據，轉化信息解決問題

表格數據類的圖象信息問題，是較為常見的題目類型，也是較為簡單的題目.針對此類問題，學生需要根據題目的具體情況，對表格中的數據研究對象、數據分布情況進行分析，比如，若是用于方程組的數據，則可以通過收集與整合其中數據，發現兩個變量的關系，構建相應的數學模型，作為解題方法.明確表格中的數據研究對象之后，需要找到表格中每個項目所對應的數據，將這些數據整合起來，作為解決問題的輔助信息［2］.同時，找到表格內各項目對應的數據，也有助于分析表格各數據之間的關系，便于學生對表格內數據進行加工，確定解題方向，從而找到合適的數學知識轉換題目內已有信息，解決問題.

例1 某自然風景區為了讓行人更好地在園內休閑娛樂，決定修建一條長為6千米的蜿蜒盤旋的景觀步道.在工程準備階段，設計人員提出：假設平均每天的修建費z（萬元）與修建天數x（天）之間在30≤x≤120范圍內具有一次函數的關系，如表1所示，請解決下面問題：

（1）求z關于x的函數關系式；

（2）后來工程施工過程中，修建計劃發生改變，建設方決定增加2千米的外延景觀道，在沒有增減建設力量的情況下這個工程的完工時間比預期晚了15天，請問原本施工計劃中每天的修建費用是多少？

解析 這道題是一道經典的圖象信息類問題，考查學生的圖表信息提取與分析能力，要求學生準確讀表，提取表格內的數據與數量關系，并且利用數學知識對圖表內信息進行轉化，將實際問題轉化為數學問題，最終求解，得到b關于a的函數關系式、原本計劃每天的修建費用.

解題過程：

（1）根據表格確定兩對數字，將其導入關系方程中，列出方程組，求解.假設z關于x的函數關系式是z=kx+b.根據表格，可以知道x=50時，z=40；x=60時，z=38.因此，40=50k+b，38=60k+b，求解得到k=-15，b=50.因此可以得到z關于x的函數關系式是z=-15x+50

（2）根據題目信息與表格，可以得到6x=8x+15，x=45.因此，x=45時，z=-15x+50=-15×45+50=41，故原本施工計劃中每天的修建費用是41萬元.

2 利用圖示信息，整合加工輔助解題

識圖，是初中圖表信息問題解題的小技巧之一.掌握識圖技巧，不僅可以從圖表中獲取有用的信息，也可以對這些信息進行加工處理，促使其以一個具體的問題呈現出來，便于學生之后利用數學知識解決問題［2］.

例2 如圖1所示，為2019年至2023年勞動節期間A、B兩地的旅游人數，變化情況，分別以實線和虛線表示，請大家根據圖示思考如下問題：

（1）B地的旅游人數，相較于上一年，同比增長最快的是哪年；

（2）A、B兩地從2019年2023年的旅游人數的平均數、方差分別是多少？請分別從這兩個數據角度描述兩個旅游地點的情況；

（3）A地旅游門票價格是80元/人，最佳接待人數是4萬人，為了控制游客數量，A地決定提高門票價格，已知門票價格x（元）與游客人數y（元）之間滿足函數關系y=5-x100，請問，如何設置票價，可以讓A地游客數量不超過4萬人呢？

解析 這道題表面問題較多，但是從問題（1）到問題（3）是環環相扣的，學生應當先讀圖，弄清楚圖中橫軸與縱軸之間的關系，分別從圖示的虛線、實線與坐標圖相交的點位中獲取數據，之后逐步求解.

解題過程

（1）根據圖示中的虛線走向，可以看出，B地2021年～2022年兩點之間的線段角度“最陡”，可見其增長跨度最大，因此，2022年是相較于上一年增長最快的一年.

（2）根據圖示數據.

可得xA=1+2+3+4+55=3，xB=3+3+2+4+35=3，S2A=15［（-2）2=（-1）2+02+12+22］=2，S2B=15［02+02+（-1）2+12+02］=25.可見，從2019年～2023年，A、B兩地平均每年的旅游人數在3萬人左右，而A地區的旅游人數波動要明顯高于B地區.

（3）根據題目給出信息，“門票價格x（元）與游客人數y（萬人）之間滿足函數關系y=5-x100，可以得到5-x100≤4，解得x≥100，100-80=20，因此，A地區旅游門票的價格至少要提高20元，才能夠有效控制人流量.

3 結語

綜上所述，在初中圖表信息問題的解題中，學生可以根據題目情況，靈活利用圖表數據、信息、折線圖圖示解決問題，也可以根據題目內對問題的描述，找到題干中的隱藏條件.結合本次列舉的圖表信息問題解題過程，可以看出，這一類題目的解題技巧就是對題干中的信息進行整合與加工，將圖表內隱藏的信息發掘出來，與題干語言描述相結合，確定問題中數與形之間的關系.

參考文獻：

［1］沈鑫.初中數學“數據與圖表”問題解析［J］.現代中學生（初中版），2023（20）：39-40.

［2］王志學.初中數學解題反思實踐研究［J］.數學學習與研究，2023（17）：116-118.

［3］張海萍.新課標背景下初中數學解題技巧研究——以蘇科版為例［J］.數學學習與研究，2023（13）：126-128.