初中數學解題技巧探微

【摘要】關于圓相關的問題是中考必考題型，學生應在理解題目的基礎上分析題目選擇所需的條件，再選擇需要用到的相關概念、知識理論進行詳細解讀，最后借助計算、添加輔助線等方式進行問題求解.本文對初中數學圓相關問題的解題思路、解決方法進行深入探究，以期為初中數學教學中圓相關教學活動的開展提供幫助.

【關鍵詞】圓；初中數學；解題技巧

初中階段，教材內關于圓的知識點很多，并且這些知識內容與其他知識點之間也互有聯系，所以圓的題型綜合性強、內容豐富，導致很大一部分學生對圓相關知識掌握得不夠熟練，在解題過程中經常出現知識使用混亂，甚至找不到解題關鍵點等問題.因此，教師需要以圓的概念、性質定理出發，基于中考考綱中的考點問題進行題型的歸納與分析.

1 有關圓性質的問題求解技巧

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B兩點到直線CD的距離之和為（ ）

（A）18cm. （B）14cm.

（C）10cm. （D）6cm.

分析 本題中已知條件較多，主要考查學生對圓的性質相關知識的掌握程度，學生需基于“垂徑定理”對題目進行細致化分析：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧［1］.基于此對圖形中各個點與線的位置進行仔細分析，從而獲取解題思路.

解析 根據垂徑定理，過O點作一條垂線OM，使OM⊥CD于點M，因為點M是CD的中點，根據CD=8cm可得出MD=4cm.連接OD，因為AB=10cm，所以OD=12AB=5cm，再根據勾股定理可以求出OM=3cm，基于梯形中位線定理，得出A、B兩點到直線CD的距離之和等于3×2=6cm.

2 直線與圓的位置關系

例2 PQ是⊙O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ = QB = 2，動點A在⊙O的上半圓運動（含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC.那么線段AB所在的直線與⊙O相切時，△ABC的面積如何計算.

分析 本題考查學生對直線與圓三種位置關系的掌握情況，尤其是直線與圓相切時應如何解題.本題中由于直線AB與⊙O相切，且B點在PQ這一圓外延長線上，所以可以知道AB與⊙O的切點為A，想計算三角形面積，需要求出AO的長度，然后再根據已學的三角形性質求出△ABC其他邊長，最后求得面積.

解析 首先將點A與點O相連，根據已知條件中給出的OQ=QB=2，可以求出AO=OQ=2，OB=4，利用勾股定理的性質可以求出AB的長.又因為△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的面積公式可以得出最終答案.

3 圓切線的性質定理

例3 如圖2，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B，將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O′A′B，使點O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點C，若∠A′=25°，則∠OCB是多少度.

分析 此過程中，考查學生對圓的切線定理、三角形外角性質的掌握程度.圓的切線定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑；三角形的外角定理：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和［2］.通過綜合分析得出利用畫輔助線的方式可以順利完成解題.

解析 根據圓的切線定理可以明確∠OBA=90°，解題過程中，連接OO′，基于此根據旋轉的性質得出結論：∠A=∠A′，∠ABA′=∠OBO′，BO=BO′，那么就可以作出如下判斷：△OO′B是一個等邊三角形，進而證明∠OBO′=60°，接下來可判斷∠ABA′=60°，最后再利用已經學習過的三角形外角性質計算出∠OCB的度數：∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.

4 圓中的計算問題

在學習圓相關知識的過程中，學生在解題過程中除掌握圓、三角形的概念、性質和定理，還需要在涉及面積計算問題時，掌握作差法、平移法、等積法、割補法等各種方法輔助計算，從而在解題思路清晰的情況下，得出正確答案.

例4 已知A、B兩地相距1km，要在A、B兩地之間修建一條筆直的交通軌道，根據具體測量得出以下兩個信息：C地在A地的北偏東60°方向、C地在B地的北偏西45°方向，該地有一個以C為圓心，半徑長為350m的圓形的兒童主題樂園，修建的這條交通軌道是否會穿過主題樂園？

分析 本題考查學生對圓的基本性質、圓的切線定理以及三角形性質、三角形內角定理等方面知識的掌握程度.想明確以C為圓心的公園是否會與AB邊相交，必須求圓形的半徑以及C點到線段AB的距離，若⊙C的半徑長度大于C點到線段AB的距離，則軌道穿過主題樂園，若⊙C的半徑小于C點到線段AB的距離，則修建這條軌道不會穿過主題樂園.

解析 首先過點C作CD⊥AB于點D，那么可以根據已知條件得出∠CBA=45°，∠BCD=45°，因此，可以求得CD=BD，我們可以假設CD的長度為xkm，那么BD的長度也為xkm，再根據C點在A點的北偏東60°方向，可以得出∠CAB=30°，基于此求出AC的長度為2xkm，基于勾股定理計算出AD=3xkm，而AD+BD=1km，那么求得3x+x=1，x ≈ 0.37km，370m＞350m，所以以直線AB修建的軌道不會穿過兒童主題樂園.

5 結語

深入分析初中數學圓相關問題及解題技巧后，教師未來應著重培養學生的邏輯推理能力與靈活思考能力，保證他們在建立完整的知識體系后，面對各類圓的題型都能積極探索、從容面對，為后續的學習與發展奠定基礎.

參考文獻：

［1］左朋法.初中數學解題教學中“圓”的解題解析［J］.數理天地（初中版），2023（21）：26-27.

［2］孫明松.初中數學圓的解題技巧研究［J］.數理天地（初中版），2022（05）：84-85.