初中二次函數中幾種常見的解題方法

【摘要】新時代發展視域下，初中數學教學應當強調學生知識技能與方法手段的有效掌握，幫助學生切實把握問題解決的思路和能力，有利于拓展學生數學思維，促進初中學生數學學科的長遠學習發展.初中二次函數問題解題方法主要包括待定系數法、數形結合法以及數學建模法三種方法，本文結合人教版初中數學例題對二次函數的各種解題方法進行簡要分析.

【關鍵詞】初中數學;二次函數;解題方法

二次函數是初中數學課程中的重要板塊，在代數和幾何范圍內都具有重要影響.初中二次函數常見解題方法中待定系數法是以二次函數解析式為基礎的解題方法，主要包括一般式、頂點式和交點式，數形結合法是將二次函數與幾何圖形結合起來的方法，主要包括幾何求解法、輔助線法和三角函數法，數學建模法是以數學模型為核心進行建構求解的解題方法.

1 初中二次函數中待定系數法解題應用

待定系數法是指基于二次函數解析式y=ax2+bx+c進行代數推理的解題方法，旨在引導學生以充分了解二次函數為前提利用已知條件進行未知量的求解［1］.初中二次函數的待定系數法主要包括一般式、頂點式、交點式三種類別.

例1 根據下列條件，分別確定二次函數的解析式.

（1）拋物線y=ax2+bx+c過點（-3，2），（-1，-1），（1，3）；

（2）拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩交點的橫坐標分別是-12，32，與y軸交點的縱坐標是-5.

解析 本題取自人教版初中數學教材九年級上冊二次函數單元小結復習題版塊，是初中二次函數類型題中典型的基礎題型，主要應用待定系數法進行函數求解.其中第（1）問應用一般式法解題，已知拋物線上的三點坐標，可以直接代入y=ax2+bx+c進行求解，可得出y=78x2+2x+18；第（2）問可以應用待定系數法中的交點式進行解題，已知二次函數與x軸的兩個交點坐標以及與y軸的交點坐標，可以代入y=ax-x1x-x2a≠0交點式，可得出解析式為y=203x2-203x-5.本題充分體現了二次函數的基礎概念，是待定系數法在二次函數求解中的應用基礎.

2 初中二次函數中數形結合法解題應用

數形結合思想是初中數學教學活動中，學生應當具備和掌握的基礎數學思想，是發展學生抽象性思維的重要舉措［2］.初中二次函數問題不僅在代數領域，在幾何問題中也有廣泛應用.初中二次函數中應用數形結合法主要包括幾何求解法、輔助線法以及三角函數法三種類別.幾何求解法是針對二次函數中的幾何圖形，利用幾何學知識通過周長或面積公式進行問題求解的方法，有效實現代數問題到幾何問題的轉換.輔助線法是指在二次函數坐標系中通過添加輔助線的方式進行解題，為問題求解提供新的已知量，將復雜問題轉化為常見問題的求解方法.三角函數法是針對二次函數問題中的三角形問題，利用三角函數進行問題求解的方法.

例2 如圖1，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3，在第二象限的拋物線上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大，并求出P點坐標及△PBC的面積最大值.

解析 針對P點坐標求解問題，可以引入三角函數以及輔助線法的數形結合法進行坐標求解.過點P作BC的平行線l（二次函數的切線），當直線l與拋物線有唯一交點時，△PBC邊BC上的高最大，則△PBC的面積最大，如圖2.由二次函數解析式可知直線BC的解析式為y=x+3，則直線l的解析式可設為y=x+b.由公式可得，x+b=-x2-2x+3，所以x2+3x+b-3=0，由Δ=32-4（b-3）=0，得出b=214，x=-32，M（0，214）.此時BC上的高h最大，h=MC×sin∠CMP=MC×sin∠OCB=94× 22=9 28.S△PBC=12BC×h=12×3 2×9 28=278，P點坐標為（-32，154）.

本題通過結合題目需求增設輔助線，借助三角形的幾何性質、三角形面積公式以及三角函數等幾何知識進行二次函數問題的求解，有效助力初中學生數形結合解題思維方法的吸收掌握.

3 初中二次函數中數學建模法解題應用

數學建模法是指結合題目需求進行解析模型的構建，借助普適性的數學模型掌握題目解題規律，再代入已知量進行求解的過程.數學建模法能夠有效促進學生模型思維、建模意識以及數學理性思維的形成與發展.

例3 某玩具進價8元/件，若售價為10元/件，則銷售量為100件/天.該店意圖通過提高售價增加利潤，已知玩具每提高1元售價，日銷售量就會減少10件.問該店售價定為多少的情況下能獲得最大利潤.

解析 將玩具每件提高價格設為x元（x≥0），該玩具的利潤為y元，則每天銷售額為（10+x）（100-10x）元，進貨總價為8（100-10x）元，因此0≤x≤10.由利潤=銷售總價-進貨總價可以建立數學模型為y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10），由此可以轉化為二次函數的最值問題求解.

利用數學模型將應用題目轉化為常見的基礎題目，實現復雜問題到簡單問題的轉化，促使學生將數學眼光和數學思維應用到實際問題解決中來，充分發揮了數學建模法的教學價值與育人價值，有助于學生從根源角度體會和感受應用問題中的數學的獨特魅力.

4 結語

總而言之，新課程標準視域下，初中數學教學應當注重學生學科知識與學科素養的均衡發展.初中數學教學應當注重學生多元解題方法的掌握，強調通過不同的解題方法幫助學生深入掌握數學基礎知識技能，促進初中學生數學學科素養的形成發展.本文結合例題對待定系數法、數形結合法以及數學建模法進行了研究分析，有效助力初中學生二次函數版塊問題解決能力的發展提升.

【本論文系白銀市教育科學“十四五”規劃課題《5G時代推動在線教育高質量發展的策略研究》的階段性研究成果.課題批號：BY【2021】G242號】

參考文獻：

［1］蘇春榮.初中數學二次函數應用題解題教學研究［J］.數理天地（初中版），2023（13）：25-27.

［2］鄭子飚.初中數學解題方法和技巧研究——以二次函數解析式為例［J］.新課程導學，2023（14）：56-59.