平面圖形與立體圖形之間的轉化關系

【摘要】本文深入研究了平面圖形與立體圖形之間的轉化關系，探討了從不同角度觀察、展開、折疊和旋轉等幾個方面的具體問題.通過這些問題的求解，得出了平面圖形和立體圖形之間獨特而豐富的關聯，為幾何學和圖形學領域提供了新的理解和認識.

【關鍵詞】平面圖形；立體圖形；轉化關系

1 從三個方向看，用平面圖形表示立體圖形

例1 由若干個完全相同的小正方體組成一個立體圖形，它的左視圖和俯視圖如圖1所示，則小正方體的個數不可能是（ ）.

（A）5. （B）6. （C）7. （D）8.

分析 直接利用左視圖以及俯視圖進而分析得出答案．

解答 由左視圖可得，第2層至少有一個小立方體，第1層一共有5個小立方體，故小正方體的個數最少為：6個，故小正方體的個數不可能是5個．故選（A）．

點評 此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，正確想象出所用正方體最少時的幾何體的形狀是解題關鍵．

2 將立體圖形展開為平面圖形

例2 如圖2，有一個正方體紙巾盒，它的平面展開圖是（ ）.

（A） （B）

（C）（D）

分析 利用平面幾何圖形的折疊及正方體的展開圖規律解題．

解答 觀察圖形可知，一個正方體紙巾盒，它的平面展開圖是．

故選（B）．

點評 本題考查了幾何體的展開圖，學生可以從實物出發，結合具體的實際問題，辨析幾何體的展開圖的規律，結合立體圖形與平面圖形的轉化，建立空間觀念，是解決此類問題的關鍵點．

3 將平面圖形折疊為立體圖形

例3 小明通過學習明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖3中的①和②．根據你所學的知識，回答下列問題：

（1）小明總共剪開了幾條棱？

（2）現在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．

分析 （1）根據①所示的圖形，并結合長方體的立體圖形，即可得到一共要剪幾條棱；

（2）將①進行簡單折疊后可以發現，要想還原成長方體還缺少與①中下方小長方形相對的一面，據此可得出②可以粘貼的一個位置；由圖3可知，需將②粘貼在①的上方相對或隔一個相對位置，接下來自己試著分析②中長方形的寬與①中小長方形的寬相同的情況吧．

解答 （1）小明總共剪開了8條棱；

（2）如圖4，有以下四種可選擇的位置：

點評 本題考查了幾何體的展開圖，結合具體的實際問題，辨析幾何體展開圖，通過立體圖形與平面圖形之間的轉化，建立空間觀念，解決此類問題．

4 將平面圖形旋轉成立體圖形

例4 如圖5，一個邊長為2的正方形與等腰直角三角形的一邊重合，組成一個平面圖形，將它繞AB所在直線按逆時針方向旋轉180°，得到的幾何體體積為163π．（圓錐的體積公式為：V圓錐＝13πr2h）

分析 這一平面圖形繞AB所在直線，按逆時針方向旋轉180°，得到一個由半個圓錐和半個圓柱組成的幾何體，依據圓錐的體積公式和圓柱的體積公式進行計算即可．

解答 該圖形繞AB所在直線按逆時針方向旋轉180°，得到一個由半個圓錐和半個圓柱組成的幾何體，這一幾何體的體積＝12×（13π×22×2+π×22×2）＝163π，

故答案為：163π．

點評 本題主要考查了幾何體的體積，解決問題的關鍵是掌握圓錐的體積公式和圓柱的體積公式．

5 結語

通過對平面圖形與立體圖形轉化關系的深入研究，揭示了圖形學中的一些有趣而實用的原理.這一研究為計算機圖形學、建筑設計等領域提供了理論支持，同時也為學生提供了更生動、形象的學習方法.

參考文獻：

［1］朱勇.旋轉，建立平面與立體的關聯——《圓錐的體積（練習）》教學與思考［J］.教育視界，2023（23）：63-66.

［2］劉露，黃云龍，湯艷.圖形與幾何［J］.貴州教育，2023（Z1）：39-46.

［3］王歡.復習課，不妨從學生的認知平衡入手——《立體圖形表面積和體積（復習）》設計與思考［J］.教育視界，2022（17）：63-65.