初中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思維的妙用

【摘要】目前數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，需要教師能夠以多元化、多樣化授課模式開展相關(guān)教學(xué)活動，在使學(xué)生形成完善、良好數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提升綜合學(xué)習(xí)能力.在數(shù)學(xué)思想體系中，數(shù)形結(jié)合是一種初中常見的數(shù)學(xué)解題思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過引進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效降低教學(xué)難度，有助于提高學(xué)生解題效率與質(zhì)量.本文以函數(shù)最值問題為例，針對初中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用策略加以探索研究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；解題

對于初中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是一門很有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)科目.數(shù)學(xué)主要是“數(shù)”和“形”相結(jié)合的一門學(xué)科，要正確解決“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，才能準(zhǔn)確解決相關(guān)問題.數(shù)形結(jié)合思想是初中學(xué)生必備的一種解題思路，在解決問題的過程中進(jìn)行有效的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，根據(jù)知識關(guān)系來建立一個知識系統(tǒng)，從而提高解題能力.

1 數(shù)形結(jié)合思維在初中數(shù)學(xué)解題中的作用

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個重要的研究對象.“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)最基本的特點(diǎn)，也是一種重要的思維方式，許多問題都可以用數(shù)形結(jié)合的方式來解決，在此過程中，需要學(xué)生充分發(fā)揮圖形特有的形象性、直觀性特點(diǎn)，深層次體現(xiàn)數(shù)字思維的標(biāo)準(zhǔn)化和嚴(yán)謹(jǐn)性［1］.

“數(shù)形結(jié)合”也是一種極具數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換方法，主要特點(diǎn)是可以通過數(shù)學(xué)的抽象特性解釋“具象”的數(shù)學(xué)知識現(xiàn)象，又能解釋事物本質(zhì).從這一意義上講，數(shù)形結(jié)合是一個必不可少的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化過程.

2 數(shù)形結(jié)合思維在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用策略

數(shù)形結(jié)合求最值，主要是通過將某些抽象的解析形式賦予幾何意義，再利用圖形性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型中“數(shù)”和“形”之間的信息轉(zhuǎn)化，將代數(shù)問題等價于幾何求解，從而使求解過程變得更加簡便、快捷［2］.

例1 如圖1所示，拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，3） .

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)F （0，-3），在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使得EG+FG最小？如存在，請求出其坐標(biāo)，如不存在，請說明理由.

解答 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+4，

將點(diǎn)E（0，3）代入得3=a（0-1）2+4，

解得a=-1，即拋物線的解析式為

y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3.

（2）如圖2所示，可以先在函數(shù)圖象上找一點(diǎn)E′，使其與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，同時連接E′F交對稱軸于點(diǎn)G，此時便可以得知，EG+FG的值為最小.因而存在點(diǎn)G.

因?yàn)镋點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），對稱軸為直線x =1，

所以E′（2，3），根據(jù)E′和F的坐標(biāo)易求得直線E′F的解析式為y=3x-3.

當(dāng)x=1時，y=3×1-3=0，

所以G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.

解題策略 對于此題來說，需要在原有圖象上添加輔助線，利用圖形直觀性、形象性特征進(jìn)行分析，從而求出要求的點(diǎn)坐標(biāo).

例2 求函數(shù)fx= x2+1+ （x-2）2+1的最小值.

分析 觀察題干，可以將所求關(guān)系式轉(zhuǎn)化為求一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和，因而可以將原函數(shù)化為fx= （x-0）2+（0-1）2+ （x-2）2+（0-1）2，原題即轉(zhuǎn)化成“已知點(diǎn)P（x，0），求它到兩定點(diǎn)A（0，1），B（2，1）的距離之和的最小值”，并將其與圖形相結(jié)合，從而有效解決相關(guān)問題.

解答 原函數(shù)可化為

f（x）= （x-0）2+（0-1）2+

（x-2）2+（0-1）2，

如圖3所示，

函數(shù)f（x）的最小值即為|AP|+|PB|的最小值.對此，可以作一個定點(diǎn)A′，使其與A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，從而直觀化呈現(xiàn)相關(guān)圖象，可知|AP|+|PB|=|A′P|+|PB|，以此得到，當(dāng)A′，P，B共線時，有最小值|A′B|=2 2.

即fxmin=2 2.

解題策略 從這個問題中可知，原函數(shù)是一個二次根式，如果用代數(shù)的方式來求解，將非常困難.但是通過分析將此代數(shù)問題幾何化，同時借助圖形求解，便可以幫助學(xué)生更好地理解問題，而且解題過程也將顯著簡化［3］.

例3 對于每個實(shí)數(shù)x，設(shè)f （x）是y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4三個函數(shù)中的最小值，求f （x）的最大值.

分析 首先要掌握y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4中的最小值與x的取值之間存在的關(guān)系.對此，可以在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4的函數(shù)圖象，以直觀觀察圖象關(guān)系.

解答 如圖4所示，可以很明顯地看出，x為何值時4x+1最小，x為何值時x+2最小，以及x為何值時-2x+4最小，并由此得出f （x）的圖象.易知f（x）的最大值是y=x+2與y=-2x+4交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

解方程組y=x+2y=-2x+4，可得y=83.

所以f （x）的最大值是 83.

解題策略 在函數(shù)圖象幫助下，學(xué)生既能更好地理解相關(guān)問題，又能夠很容易得到f（x）的最大值.否則，必須先求解不等式組將函數(shù)f（x）進(jìn)行分段表示，然后再找出各段上的最大值，再得出結(jié)果，這一過程可能導(dǎo)致出現(xiàn)更多的錯誤，并且還加大了學(xué)生解決問題的難度，無論對函數(shù)知識學(xué)習(xí)，還是對數(shù)學(xué)整體學(xué)科的學(xué)習(xí)，都無法起到有效地推動和幫助效果.

3 結(jié)語

綜上所述，初中階段函數(shù)問題一直都是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)所在，同時對于學(xué)生來說也是一個難點(diǎn).針對此種情況，教師在實(shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)充分考慮到目前學(xué)生在解決函數(shù)最值問題時所遇到的各種問題，積極革新傳統(tǒng)解題教學(xué)方式、改變授課模式，從而使數(shù)形結(jié)合思想的教育教學(xué)價值得到更好的發(fā)揮與利用.只有這樣，學(xué)生才能夠在圖形幫助下，對相關(guān)問題加以深層次分析和解決，更為有效、全面地解決數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］高英凱.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（35）：20-22.

［2］香欽源.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（17）：20-21.

［3］周利明.初中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思維的妙用——以“函數(shù)的最值問題”為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，03（07）：43-45+49.