在思考中探索 在拓展中創新

【摘要】解題能力的培養需要教師在課堂教學中通過思考、探究，延伸知識點，拓展解題思路以及創新解題等方式深挖相關的例題，引導學生進行科學有序的訓練.本文通過探究幾個數學例題，論述解題能力培養的重要性，幫助學生從例題中發現更深層次的規律和思維方法，培養學生的邏輯思維、分析問題的能力，并促進他們的創新思維能力得到發展.

【關鍵詞】初中數學；解題能力；探究；創新

中考是評價學生數學水平的重要考試，教師需要指導學生運用解題思路解決各種類型的數學問題.而數學中的經典例題需要進行思考并探索其考查的知識點，進而形成系統的知識框架.如果只是停留在例題表面，可能會陷入“模式化思維”，因此需要對這些例題進行革新與拓展，從而促進學生的思維發展，提高學生的綜合素養和解題能力.即通過對例題進行更深層次的探索和研究，將其進行拓展與創新，可以激發學生的思維，增強他們的解題能力.從不同的角度來解題，培養學生靈活運用知識的能力，使他們能夠更好地理解和應用數學概念，提高他們解決問題和應對挑戰的能力.

例1 如圖1所示，點P為等邊三角形ABC的中心，△ADE與△ACP全等，∠PAD=60°，連接PD，可得PD=PA，由此可知△APD為等邊三角形，則∠BPD=180°，∠PDE=180°，那么點E、點D、點P和點B在一條直線上，因此PA，PB和PC之和等于PD，PB和DE之和，且數值上等于BE.在△ABC中，取一點P′，該點到點A、點B和點C的連線所形成的夾角固然是不相等，那么點B、點P′、點D′和點E不在一條直線上，所以P′A，P′B和P′C之和大于PA，PB和PC之和，即點P到點A、點B和點C的距離之和最小.

探究 如圖2所示，P在△ABC中，∠APB，∠BPC和∠APC相等，證明點P到點A、點B和點C的距離之和最小.

拓展 如圖3所示，在△ABC中，假設AC=6cm，BC=8cm，∠C為30°，該△ABC內存在一點P，求點P到點A、點B和點C的距離之和的最小值.

分析 探究題是例1的一個問題的轉化，同樣是點P到三角形頂點的距離問題，以例1為啟示進行拓展，如圖4所示，分別以AB，BC為邊向外作等邊三角形，同樣連接CD，AE交于點P，進而證明△ABE與△DBC全等，可得CD=AE，∠BAE=∠BDC，在DO上取一點Q，使DQ=AP，則△ABP和△DBQ全等，故可證得△PBQ為等邊三角形，那么PB=PQ，可得點P到點A、點B和點C的距離之和等于DQ，PQ和PC之和，且與CD，AE相等，再根據勾股定理便可算出AE.

變式1 如圖5所示，∠ACB=∠CBA=∠DCE=∠CED = 60°，點A，點D和點E這3點共線，連接BE.

①∠AEB的度數為60°;

②線段AD，BE之間的數量關系為AD = BE.

變式2 如圖6所示，AC=BC，DC=CE且∠ACB和∠DCE均為直角，點A、點D和點E三點共線，過C點作△DCE的高CM與DE相交于點M，連接BE，求∠AEB的度數以及CM，AE，BE的關系.

yXm8Jh8rYCc2C0nSvZNtLxgSaIHpZyXiF+7N8PmYyGk=分析 變式1：根據題意可知△ACB和△DCE均為等邊三角形，△ACD和△BCE全等，進而可知AD=BE，∠ADC=∠BEC.點A，點D和點E這3點共線能夠求出∠ADC，進而∠AEB的度數便可求出.

變式2：根據變式1中的解法可求出∠AEB以及AD = BE；由題意可知△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，可得CM =DM = ME，進而求出CM，AE，BE的關系為AE = 2CM +BE.

例2 如圖7所示，AB =10，∠B為60°，△ABC的邊AB和BC上存在點D和點E，BD = BE =4，△B′DE是通過△BDE沿DE翻折所得，將點A和點B′連接，試求AB′的長.

分析 在本題當中，關鍵點在于構造直角三角形，使用勾股定理尋求邊之間的關系，因此我們過點D作B′E的垂線交于點F，過點B′作AD的垂線交于點G，如圖8，∠B=60°，則△BDE為等邊三角形，且邊長等于4.△B′DE是通過翻折所得，故其也為等邊三角形，GD=B′F=2，B′D=4，由勾股定理可得：B′G= B′D2－GD2，進而計算可知B′G=23，則AB=10，即AG=10-6=4，最終可計算AB′的長度.

拓展 如圖9所示，四邊形ABCD為矩形，以GH為對折線折疊，點Q和點E分別為點C和點D的落點，EQ和BC交于點F，AD=8，AB=6，AE=4，試求△EBF的周長.

分析 該題與例2同為圖形的折疊，把握矩形的特性以及折疊過來之后圖形的關系，通過例2進行舉一反三即可求出△EBF的周長為8cm.

結語

初中數學解題能力培養可以通過對原題進行思考，探索其所考的知識點及系統的知識框架，通過拓展原題或者延伸相類似的知識點，去形成系統性和條理性的解題思路，使得解題思路更加靈活.本文以兩個幾何例題進行探究和分析，并對兩個例題進行拓展，進而培養學生的解題思路，使學生對問題有更深入的理解，能夠靈活應變地做一類題而不是某一道題.此外，通過在思考中探索、在拓展中創新的方式培養數學解題能力，增強學生的問題意識和探索精神，培養學習興趣和自信心，為他們的數學學習和綜合素質發展奠定堅實基礎，并為未來的學習和職業發展打下良好基礎.

參考文獻：

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