二元一次方程組在實際問題中的應用探討

【摘要】二元一次方程組是一種重要的數學工具，它在日常生活、生產實踐中具有廣泛的應用．本文將探討二元一次方程組在解決行程問題、工程問題、銷售和利潤問題中的應用，旨在為讀者提供對這一數學工具更深入的理解和認識．

【關鍵詞】二元一次方程組；實際問題；應用

二元一次方程組在實際問題中的應用非常廣泛，解決這類問題的基礎是熟練地解二元一次方程組，并理解各種解法的意義，才能在實際問題中根據題目要求列出二元一次方程組．

1 運用二元一次方程組解決行程問題

例1 隨著人們健康意識提升，運動鍛煉需求增多，越來越多的人愿意為保持健康付出更多努力．跑步作為老少皆宜的運動方式，進入門檻低，吸引了大量群眾加入，掀起全民跑步熱潮．甲、乙兩人相約去環形運動場進行跑步鍛煉，繞環形運動場跑步一圈的里程為400米．

（1）甲進行變速跑訓練．先以一定的速度繞運動場跑完2圈后立即提速20%并以該速度跑完2圈后停止跑步，若提速后所用的時間比提速前少1603秒，求甲提速前每秒跑多少米？

（2）甲、乙同時同起點出發（甲、乙兩人分別以一定的速度勻速跑步）．若同向而行，640秒后兩人第一次相遇；若相向而行，6409秒后兩人第一次相遇．已知甲比乙跑得慢，求甲、乙兩人每秒各跑多少米？

解析 （1）設甲每秒跑步m米，由題意可得，

2×400m－2×4001.2m=1603．解得m=52．

經檢驗，m=52是原方程的解．

所以，甲每秒跑步2.5米；

（2）設甲、乙每秒分別跑步為x米，y米，由題意可得

（x+y）×6409=400（y－x）×640=400，

解得，x=52，y=258．

所以，甲、乙每秒分別跑步為52米，258米．

點評 本題主要考查了二元一次方程組在處理行程問題中的應用．第（1）問中，需要先表示出提速前所用的時間，提速后所用的時間，再根據時間差為1603列出分式方程，再求出解即可；第（2）問中，根據兩人所跑的路程和等于400，再根據兩人所跑的路程差等于400列出方程組，再求出解即可．

2 運用二元一次方程組解決就工程問題

例2 某工程由甲、乙兩個工程隊施工，工程小組綜合比較兩工程隊發現，甲工程隊施工2天的費用比乙工程隊施工3天的費用少0.3萬元，甲、乙兩工程隊合作施工一天的費用為2.6萬元．單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，乙工程隊要比規定日期多用5天，初步計算，若單獨請甲工程隊需付30萬元．

（1）請計算甲、乙工程隊每天所需的施工費用各是多少萬元？

（2）為降低工程施工費用，甲、乙兩工程隊先合作施工若干天，再由乙工程隊全部完成，求甲、乙兩工程隊合作施工多少天時，在不耽誤工期的情況下，施工費用最低．

解析 （1）設甲工程隊每天所需的施工費x萬元，乙工程隊每天所需的施工費y萬元，

依題意列方程得：2x+0.3=3yx+y=2.6，

解得：x=1.5y=1.1，

所以，甲工程隊每天所需的施工費用為1.5萬元，乙工程隊每天所需的施工費用為1.1萬元；

（2）根據題得：單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，甲工程隊單獨施工需：30÷1.5=20（天），則工期為20天，

所以單獨完成這項工程需20天，乙單獨完成這項工程需20+5=25天，

設甲、乙兩工程隊先合作施工a天，則乙工程隊需單獨施工20－a天，

根據題意得：120+125a+12520－a≥1，

解得：a≥4，

總費用為：1.1+1.5a+1.120－a=22+1.5a，

當a=4時，總費用最少，為22+1.5×4=28（萬元），

所以，甲、乙兩工程隊合作施工4天時，在不耽誤工期的情況下，施工費用最低．

點評 本題主要考查了二元一次方程組在處理工程問題中的應用．解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程組及不等式求解．第（1）問中，設出兩工程隊每天所需的施工費，根據題意，甲工程隊施工2天的費用比乙工程隊施工3天的費用少0.3萬元，甲、乙兩工程隊合作施工一天的費用為2.6萬元，列出方程組即可求解；第（2）問中，單獨完成這項工程，甲工程隊剛好如期完成，甲工程隊單獨施工需20天，乙單獨完成這項工程需20+5=25天，設乙工程隊施工a天，設甲、乙兩工程隊先合作施工a天，則乙工程隊需單獨施工20－a天，根據甲乙合作的工作量加上乙單獨完成的工作量大于等于總工作量，列出不等式，求解即可，最終找到最優解．

3 運用二元一次方程組解決銷售和利潤問題

例3 青少年近視已經成為困擾我國中小學生的嚴重問題，根據《兒童青少年學習用品近視防控衛生要求》中對學生用品——護目燈的光照度、色溫、藍光、頻閃等參數都有明確的合格要求，某企業生產的A，B兩種型號的護目燈均符合要求．已知出售1件A型號和3件B型號護目燈共收入1100元，出售2件A型號和5件B型號護目燈共收入1900元．

（1）求A型號和B型號每件護目燈的售價；

（2）若出售A，B兩種型號（均有銷售，且總件數不超過13件）共收入3000元，則出售A，B兩種型號的護目燈各幾件？

解析 （1）設A型號的售價x元，B型號的售價y元，由題意得

x+3y=11002x+5y=1900，解得x=200y=300，

所以，A型號的售價200元，B型號的售價300元；

（2）設出售A型號a件，則出售B型號b件，

由題意得200a+300b=3000，化簡得2a+3b=30，

因為a，b為正整數，且a+b≤13，

所以a=3b=8或a=6b=6或a=9b=4，

所以出售A型號3件，B型號8件或A型號出售6件，B型號出售6件或A型號出售9件，B型號出售4件．

點評 本題主要考查了二元一次方程組在處理銷售和利潤問題中的應用．第（1）問中，設A型號的護目燈的售價x元，B型號的護目燈的售價y元，根據出售1件A型號的護目燈和3件B型號的護目燈共收入1100元，出售2件A型號的護目燈和5件B型號的護目燈共收入1900元，列出方程組進行求解即可；

第（2）問中，設出售A型號的護目燈a件，則出售B型號的護目燈b件，根據題意列出二元一次方程進行求解即可．可以看出，二元一次方程組能幫助企業實現利潤的最大化．

4 結語

二元一次方程組作為一種簡單而實用的數學工具，在解決實際問題中具有廣泛的應用．在工程問題、行程問題、銷售問題、人口預測和資源分配中，它都發揮了重要的作用．因此，應該加強對二元一次方程組的了解和應用，以更好地解決實際問題．盡管二元一次方程組在實際問題中具有廣泛的應用，但仍有許多領域可以進一步研究．例如，如何利用計算機技術和算法優化，提高二元一次方程組的求解速度和精度；如何將二元一次方程組與其他數學工具和模型相結合，解決更復雜的問題等．這些都是未來研究的重要方向．二元一次方程組在實際問題中非常重要和實用，希望本文能對讀者了解和應用二元一次方程組提供有益的參考．

參考文獻：

［1］許艷.二元一次方程組在實際問題中的應用［J］.科教文匯（下旬刊），2013，（24）：144+152.

［2］于保生.利用數學思想解決實際問題——以一元二次方程組的應用為例［J］.中學數學教學參考，2016，（24）：60-61.

［3］陳永華.例析二元一次方程（組）的應用［J］.中學數學，2022，（22）：52-53.

［4］葉建耀.二元一次方程組在實際問題中的應用［J］.中學教學參考，2023，（29）：16-18.