二次函數(shù)中系數(shù)對圖象的影響研究

【摘要】二次函數(shù)中的系數(shù)與圖象的關系問題，不僅是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，同時也是一種重要的數(shù)學思想，這種思想貫穿初中和高中數(shù)學，該知識點也是最近幾年中考的熱點和重點，在中考中占有相當重要的地位，而且常與其他知識點相結合進行考查.解決這類問題的核心是要搞明白數(shù)與形之間的轉換問題.本文對中考數(shù)學中這類問題常用的解題技巧進行梳理.

【關鍵詞】二次函數(shù)系數(shù)；圖象；解題技巧

1 二次函數(shù)圖象與系數(shù)代數(shù)式的符號問題

在根據(jù)二次函數(shù)的圖象研究系數(shù)或者代數(shù)式問題時，首先要明確的就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常數(shù)）的系數(shù)對于圖象的影響，其中二次項系數(shù)a決定拋物線的開口大小和開口方向.另外還要注意對稱軸的位置，二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的位置，等等，這都是我們獲取系數(shù)或者代數(shù)式問題的關鍵信息.

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個結論：①abc>0；②9a+3b+c<0；③b2<4ac；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（m≠1）．其中正確的結論有（ ）

（A）1個. （B） 2個.

（C） 3個. （D） 4個.

解析 由圖1可知，a<0，b>0，c>0，所以abc<0．故①錯誤．

因為拋物線的對稱軸為直線x=1，且與x軸的一個交點在－1和0之間，所以拋物線與x軸的另一個交點在2和3之間，又因為拋物線開口向下，所以當x=3時函數(shù)值小于零，即9a+3b+c<0．故②正確．

因為拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以b2－4ac>0，即b2>4ac．故③錯誤．

因為當x=－1時，函數(shù)值小于零，所以a－b+c<0．又因為拋物線的對稱軸為直線x=1，所以－b2a=1，即a=－12b．所以－b2－b+c<0，即2c<3b．故④正確．

因為拋物線的開口向下，且對稱軸為直線x=1，所以當x=1時，函數(shù)取得最大值為a+b+c，則對于拋物線上的任意一點（非頂點），其函數(shù)值必小于a+b+c，即a+b+c&gt;am2+bm+c（m≠1），所以a+b>m（am+b）（m≠1）．故⑤正確．故選（C）.

2 二次函數(shù)圖象與點及對稱軸問題

利用二次函數(shù)圖象研究點以及對稱軸問題時，要注意二次函數(shù)圖象中關于對稱軸對稱的每一對點，它們的函數(shù)值是相等的；反之，若二次函數(shù)圖象中的兩個點的函數(shù)值一樣，則這兩個點關于對稱軸成軸對稱.另外，要注意二次函數(shù)與x軸的兩個交點是一對比較特殊的軸對稱點．

例2 如圖2所示，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）與x軸交于點A（－3，0）、點B兩點，與y軸交于點C（0，3），對稱軸為x=－1．

（1）求拋物線的表達式；

（2）M是拋物線上的點且在第二象限，連接AM，MC，AC，求△MAC面積的最大值．

解析 （1）因為拋物線與x軸交于點A（－3，0）、點B兩點，對稱軸為x=－1，

所以B（1，0），所以拋物線的解析式可設為y=a（x+3）（x－1），

把C（0，3）代入其中可得3=a×3×（－1），解得a=－1，

所以拋物線的解析式為y=－（x+3）（x－1），即y=－x2－2x+3.

（2）設直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（－3，0），C（0，3）分別代入其中可得

－3m+n=0n=3，

解得m=1n=3，

所以直線AC的解析式為y=x+3.

過點M作MN∥y軸交AC于點N，如圖3所示，

設M（t，－t2－2t+3）（－3<t<0），則N（t，t+3），

所以MN=－t2－2t+3－（t+3）=－t2－3t，

所以S△MAC=12×3×（－t2－3t）=－32t2－92t，

因為S△MAC=－32（t+32）2+278，

所以當t=－32時，S△MAC有最大值，最大值為278．

3 利用二次函數(shù)系數(shù)符號研究圖象問題

利用二次函數(shù)的系數(shù)符號研究圖象問題，這類問題主要是考查數(shù)形結合思想，在解決問題時，要注意將題目中的“形與數(shù)”結合起來，融會貫通，找到兩者間的聯(lián)系，讓數(shù)促形，尤其要注意題目中給出的拋物線開口方向、關鍵點的坐標位置，以及各項系數(shù)與圖象的對應關系等，利用這些已知信息做出判斷，即可研究出相關圖象問題.

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c滿足以下三個條件：①b2a>4c，②a－b+c<0，③b<c，則它的圖象可能是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

解析 因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c滿足以下三個條件：①b2a>4c，②a－b+c<0，③b<c，所以由①可知：當a>0時b2－4ac>0，則拋物線與x軸有兩個交點，當a<0時b2－4ac<0，則拋物線與x軸無交點；由②可知：當x=－1時，y<0，由③可知：－b+c>0，因為a－b+c<0，所以必須a<0，所以符合條件的有選項（C）和選項（D）.由（C）的圖象可知，對稱軸直線x=－b2a>0，因為a<0，所以b>0，拋物線交y的負半軸，c<0，則b>c；由（D）的圖象可知，對稱軸直線x=－b2a<0，因為a<0，所以b<0，拋物線交y的負半軸，c<0，則有可能b<c，故滿足條件的圖象可能是（D）.

4 結語

綜上所述，對于二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的關系問題，是初中的一個難點問題，涉及的知識點和方面也比較多，但是所有的考查點幾乎都與系數(shù)密切相關，而且這類問題往往比較全面地考查學生對于二次函數(shù)知識點的掌握情況，因此在日常學習中，要牢牢抓住二次函數(shù)三個系數(shù)的各種性質，以及它們與圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，如此才可以在解決有關二次函數(shù)的圖象和性質的題目時做到游刃有余.