初中數學勾股定理中垂美四邊形問題探究

【摘要】垂美四邊形問題作為初中數學中的一個經典幾何問題，對于學生理解勾股定理的幾何意義和應用具有重要的教育價值.本文以勾股定理為基礎，深入探究垂美四邊形問題的定義、特性以及證明方法.通過實例分析詳細探究垂美四邊形的特征和性質，如對角線長度與面積之間的關系、對邊長度的關系等，幫助學生更好地掌握并應用垂美四邊形問題.

【關鍵詞】勾股定理；垂美四邊形；初中數學

勾股定理作為初中數學的重要內容，也是數學中的經典定理之一.在學習勾股定理的過程中，我們通常會遇到一些相關的問題，其中垂美四邊形問題是一個非常有趣且具有啟發性的數學問題.垂美四邊形是指一個四邊形的對角線相互垂直.本文旨在探究垂美四邊形的性質和特點，以及與勾股定理之間的聯系.

1 垂美四邊形對邊的性質

垂美四邊形對邊的一個重要性質為：若四邊形的對角線互相垂直，那么其對邊的平方和相等.

例1 如圖所示，把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

（1）性質探究：如圖1，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

（2）解決問題：已知AB=5，BC=4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP.如圖2，當∠ACB=90°，連接PQ，求PQ的長.

分析 圖中若有垂線，應首先考慮勾股定理的應用，運用勾股定理可得結論；如圖2，過點P作PD⊥BQ，交QB的延長線于點D，利用勾股定理可得AC的長度，再證得△ABC≌△PBDAAS，得出PD，BD，BC，DQ的長度，運用勾股定理即可求得答案.

解 （1）證明 因為AC⊥BD，垂足為O，如圖1所示，

所以AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2，

所以AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，

所以AB2+CD2=AD2+BC2.

（2）如圖2所示，過點P作PD⊥BQ，交QB的延長線于點D，則∠BDP=90°.

因為∠ACB=90°，

所以AC=AB2－BC2=52－42=3.

因為△BCQ和△ABP都是等腰直角三角形，

所以∠CBQ=∠ABP=90°，BQ=BC=4，BP=BA，

所以∠CBD=180°－∠CBQ=180°－90°=90°，

則∠ABC+∠ABD=90°，

又因為∠PBD+∠ABD=90°，

所以∠ABC=∠PBD，

因此∠ACB=∠PDB=90°，

所以△ABC≌△PBDAAS，

所以PD=AC=3，BD=BC=4，

DQ=BD+BQ=4+4=8，

在Rt△PQD中，

PQ=PD2+DQ2=32+82=73.

本題涉及全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理.解答垂美四邊形問題需要正確理解垂美四邊形的定義，并且靈活運用勾股定理.通過研究和應用這些幾何概念和定理，學生能夠深入理解幾何形狀之間的關系，并培養解決幾何問題的能力.

2 垂美四邊形對角線的性質

垂美四邊形對角線的一個重要性質為：若四邊形的對角線互相垂直，那么四邊形的面積等于對角線乘積的一半.

例2 小明學習了平行四邊形這一章后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發現另外一類特殊四邊形，如圖3.

（1）性質探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形ABCD的面積S與兩對角線AC，BD之間的數量關系：.

（2）問題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CG，BE，GE，已知AC=4，AB=5.

①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；

②求出四邊形BCGE的面積.

解 （1）如圖3所示，因為四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ADC=12AC·BO+12AC·DO=12ACBO+DO=12AC·BD.

（2）①證明 連接CG、BE，AB、CE相交于點M，如圖4所示.

因為四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，

所以∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，

AB=AE，

所以∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE，AB=AE

所以△GAB≌△CAESAS，

故BG=CE，∠ABG=∠AEC，

又因為∠AEC+∠AME=90°，

∠AME=∠BMN，

所以∠ABG+∠BMN=90°，

∠BNM=90°，

所以BG⊥CE，四邊形BCGE為垂美四邊形，得證.

②因為FG=CF=AC=4，

∠ACB=90°，AB=5，

所以BC=AB2－AC2=3，

所以BF=BC+CF=7，

在Rt△BFG中，

BG=BF2+FG2=72+42=65，

所以CE=BG=65，

所以四邊形BCGE的面積=12BG·CE=652.

本題主要考查垂美四邊形的判定與性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理的應用.正確理解垂美四邊形的定義和靈活運用勾股定理是解題的關鍵.

3 結語

垂美四邊形作為一個經典的數學問題，展示了數學中的美妙.通過研究垂美四邊形，我們不僅加深了對勾股定理的認識，還培養了學生的邏輯思維和問題解決能力，為初中數學教學提供了一些新的思路和方法.

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