善于挖掘“隱圓”，巧解最值問題

【摘要】中考試題中的小壓軸題常常以平面幾何的最值問題呈現.平面幾何的最值問題中，常常考查以“隱圓”為背景的試題.要解決這類試題，需要根據題意挖掘“隱圓”，然后利用圓的性質，有時也會結合軸對稱、三角形的相似或全等、兩點之間線段最短等性質求解.

【關鍵詞】平面幾何；最值問題；隱圓

含有“隱圓”的平面幾何最值問題，主要涉及兩類題型.題型1是動點為直角三角形的直角頂點[1]，即已知A，B是定點，P是動點，且∠APB=90°.這時點P的運動路徑是以AB為直徑的圓（或半圓）.題型2是三角形中邊長固定的邊所對的角為定角，即已知A，B是定點，P是動點，且∠APB是定值，這時點P的運動路徑是以AB為弦的圓.

在求解平面幾何最值的過程中，要認真審題，善于挖掘題目中的“隱圓”，然后根據圓的幾何性質與相關平面幾何知識求解，可縮短解題時間、提高解題效率[2].

題型1 動點為直角三角形的直角頂點

例1 如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點E是正方形ABCD內的動點，點P是BC邊上的動點，且∠EAB=∠EBC．連接AE，BE，PD，PE，則PD+PE的最小值為（ ）

（A）213－2. （B）45－2.

（C）43－2.（D）215－2.

分析 先證明∠AEB=90°，即可得點E在以AB為直徑的半圓上移動，設AB的中點為O，作正方形ABCD關于直線BC對稱的正方形CFGB，則點D的對應點是F，連接FO交BC于P，交半圓O于E，根據對稱性有PD=PF，則有PE+PD=PE+PF，則線段EF的長即為PE+PD的長度最小值，問題隨之得解．

解析 因為四邊形ABCD是正方形，

所以∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠EBC=90°.

因為∠EAB=∠EBC，

所以∠EAB+∠EBA=90°，

所以∠AEB=90°，

所以點E在以AB為直徑的半圓上移動，如圖2，設AB的中點為O，

作正方形ABCD關于直線BC對稱的正方形CFGB，則點D的對應點是F，

連接FO交BC于點P，交半圓O于點E，

根據對稱性有PD=PF，

則有PE+PD=PE+PF.

則線段EF的長即為PE+PD的長度最小值.

因為∠G=90°，FG=BG=AB=4，

所以OG=6，OA=OB=OE=2，

所以OF=FG2+OG2=213，

所以EF=OF－OE=213－2，

故PE+PD的長度最小值為213－2.

故選（A）．

點評 本題考查了軸對稱、最短路線問題，正方形的性質和勾股定理等.根據題意得出點E的運動路線是以AB為直徑的半圓是解題的關鍵，然后根據對稱性，利用最短路線問題求出最值即可.

題型2 三角形中邊長固定的邊所對的角為定角

例2 如圖3，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E為AB中點，F為直線BC上動點，B、G關于EF對稱，連接AG，點P為平面上的動點，滿足∠APB=12∠AGB，則DP的最小值 ．

分析 由題意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知點P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上，要使DP最小，則點P要靠近點D，即點P在AB的右側.

解析 設EF與BG交于點H，因為B，G關于EF對稱，

所以BH=GH，且EF⊥BG.

因為E為AB中點，則EH為△ABG的中位線，

所以EH∥AG，

所以∠AGB=90°.

因為∠APB=12∠AGB，

即∠APB=12∠AGB=45°，

所以點P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上，要使DP最小，則點P要靠近點D，即點P在AB的右側.

如圖4，設圓心為O，連接OA，OB，OE，OP，OD，過點O作OQ⊥AD，

則OA=OB=OP.

因為∠APB=45°，

所以∠AOB=90°，則△AOB為等腰直角三角形，

所以OA=22AB=22=OP.

又因為E為AB中點，

所以OE⊥AB，

OE=12AB=AE=BE.

又因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠BAD=90°，AD=BC=8，

所以四邊形AEOQ是正方形，

所以AQ=OQ=22OA=2，

QD=AD－AQ=6，

所以OD=OQ2+QD2=210，

由三角形三邊關系可得DP≥OD－OP=210－22，當點P在線段OD上時取等號.

所以DP的最小值為210－22.

故答案為210－22．

點評 本題考查軸對稱的性質，矩形的性質，隱圓，三角形三邊關系，正方形的判定及性質，等腰直角三角形的判定及性質，等等，綜合性較強.根據∠APB=12∠AGB=45°得知點P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上是解決問題的關鍵．

結語

平面幾何中的最值問題，是中考的一個難點.命題人在命制試題時，常常以圓的背景來命制，但題中又沒有提到圓.這就需要考生分析問題，挖掘出試題中的“隱圓”，然后利用圓的性質和相關的平面幾何知識求解.

參考文獻：

[1]劉桂景.初中數學幾何最值問題的解題思路分析[J].數理天地（初中版），2024（01）：49-50.

[2]崔懷勝.平面幾何中與動點有關的最值問題[J].數理天地（初中版），2022（19）：21-22.

[3]劉賢華.中考最值問題分析及解題技巧[J].數理天地（初中版），2022（19）：29-30.