初中“動點問題”解題突破策略

【摘要】動點問題涵蓋了多方面的初中數(shù)學知識，掌握動點問題的關(guān)鍵解題步驟，有助于促進學生對動點問題的理解與應(yīng)用.本文通過研究初中“動點問題”的解題方法和策略，以期幫助學生提高解決實際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；動點問題；解題策略

1 引言

動點問題通常涉及平面幾何和運動規(guī)律的結(jié)合，解決動點問題的關(guān)鍵是理解和應(yīng)用物體的運動規(guī)律，推導出與物體運動相關(guān)的數(shù)學關(guān)系.

2 初中“動點問題”解題突破策略

2.1 聯(lián)系生活理清解題思路

例1 現(xiàn)有E、F、G三地，三地之間的距離相等，為60km，E、F、G三地之間圍繞構(gòu)成一個等邊三角形，現(xiàn)在A騎自行車從E地出發(fā)前往F地，速度為20km/h，同時B騎電動車從G地出發(fā)前往E地，速度為30km/h，如圖1所示.請問，A、B兩人在騎行過程中能否形成等邊三角形EAB，如果可以，請問需要多久，如果不可以，請分析理由.

解析 設(shè)A、B兩人出發(fā)經(jīng)過t小時之后，能夠形成，則EA=EB=AB.

根據(jù)EA=20t，EB=60-30t，

有20t=60－30t.

計算得到：t=1.2.

即A、B兩人同時出發(fā)，經(jīng)過1.2小時后，能夠形成等邊三角形EAB.

2.2 借助函數(shù)靈活解題思維

例2 直線y=－23x+c，與x軸相交于點M，與y軸相交于點N，M的坐標為（3，0），并且二次函數(shù)y=－43x2+bx+c與y軸也相交于點N，與x軸相交于點M，如圖2所示.點D（k，0）為x軸上的一個動點，在OM之間移動，過點D作垂直于x軸的一條直線，此時與MN相交于點E，與二次函數(shù)相交于點C，假設(shè)△CNE與△EDM相似，求D點的坐標.

解析 由直線y=－23x+c經(jīng)過點M（3，0），

得出c=2.進行可以得出二次函數(shù)的解析式為y=-43x2+103x+2.

借助一次函數(shù)與二次函數(shù)進行坐標的表示，可以得出點E的坐標為（k，－23k+2），

點C的坐標為（k，－43k2+103k+2）.

根據(jù)△CNE與△EDM相似，

得出∠NCE=∠MDE=90°或∠CNE=∠MDE=90°.

因為D（k，0），當∠CNE=90°時，過點C作CF垂直于y軸于點F，

則∠CNF+∠NCF=90°，CF=k，

NF=-43k2+103k+2-2=-43k2+103k，

因為∠CNE=90°，

所以∠CNF+∠MNO=90°，

所以△CFN與△NOM相似，CFON=NFOM，

故k2=-43k2+103k3，

解得k=118.

當∠NCE=90°時，NC垂直于DC，故點C的縱坐標為2，

則-43k2+103k+2=2，得k=52.

所以D點坐標為（118，0）或（52，0）.

2.3 特殊圖形構(gòu)建解題方法

例3 如圖3所示，直角三角形ABC的點A、C分別位于直線坐標系y軸、x軸上，其中∠ACB=

90°，∠CAB=60°，點A、C的坐標分別為（0，1），（1，0），現(xiàn)在有一動點P，并且P點不與A點重合，構(gòu)建△PBC，使△PBC≌△ABC，求P點的坐標.

解析 第一種情況：如圖4所示，構(gòu)建△PBC，此時△ABC與△PBC全等，過P點作PM⊥x軸.得出AC=CP，∠ACO=∠CAO=∠PCM=∠MPC=45°，△PMC≌△AOC.P點的坐標為（2，-1）.

第二種情況：如圖5所示，作CP平行于AB，且CP與AB相等，此時連接BP得到△PCB≌△ABC，

得出∠BCP=∠CBA=30°.

過P點作PM⊥x軸，

∠BCM=∠BCP+∠PCM=30°+∠PCM=45°，

所以∠PCM=15°.在x軸上尋找一點N，要求CN=PN，△PCN為等腰三角形，

∠PCN=∠NPC=15°，

所以∠PNM=∠PCN+∠NPC=30°.

設(shè)PM=x，

則PN=2x，MN=3x，

在△CPM中CP2=CM2+PM2，

所以222=x2+2x+3x2.

x=3－1，

所以O(shè)M=OC+CM=2+3，

所以P點的坐標為（2+3，3－1）.

第三種情況：如圖6，在第二種情況的基礎(chǔ)上，作關(guān)于BC的對稱點P，

此時△ABC與△PCB全等，

以得出PC=BA=22，

∠PCM=75°，∠CPM=15°，

由勾股定理

可得CM=3－1，PM=3+1，

所以P點的坐標為（3，3+1） .

3 結(jié)語

綜上所述，在動點問題的解題教學中，教師要綜合運用不同的方法，簡化動點問題的解題步驟，引導學生掌握科學的解題技巧.

參考文獻：

[1]高學賢.初中數(shù)學二次函數(shù)動點問題解題方法探究[J].數(shù)理天地（初中版），2023（17）：8-9.

[2]馬貴忠.初中數(shù)學動點問題解題教學策略研究[J].數(shù)理天地（初中版），2023（13）：12-13.

[3]陳福德.初中數(shù)學動點問題的解題策略[J].數(shù)理化解題研究，2023（14）：2-4.