旋轉(zhuǎn)法在正方形中的解題應(yīng)用

【摘要】正方形有很多屬性，它是特殊的平行四邊形，也是軸對(duì)稱圖形，同時(shí)還是中心對(duì)稱圖形.多重屬性賦予了正方形很多特征，這些特征常作為考點(diǎn)出題，在解答與正方形有關(guān)的試題時(shí)，特別是涉及角度，全等，相似，直角三角形時(shí)，可以考慮用旋轉(zhuǎn)法解題.

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)法；正方形；應(yīng)用類型

在人教版初中數(shù)學(xué)教材中，正方形［1］為八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)，旋轉(zhuǎn)［2］為九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)法求解正方形有關(guān)的試題，一般需要有一定的跳躍性思維，特別是題干中沒(méi)有提及“旋轉(zhuǎn)”二字的試題，需要學(xué)生找出旋轉(zhuǎn)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角度，以及被旋轉(zhuǎn)圖形.多數(shù)情況下，題干會(huì)直接表明有關(guān)旋轉(zhuǎn)的操作，這樣難度會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單，根據(jù)題意，結(jié)合正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)解題即可.本文列舉了三道與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的試題，講解正方形問(wèn)題中，旋轉(zhuǎn)法解題的具體過(guò)程.

例1 如圖1，在△OAB中，已知頂點(diǎn)O0，0，A-3，4，B3，4，將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）

（A）10，3. （B）－3，10.

（C）10，－3. （D）3，－10.

分析 根據(jù)題意，可求出正方形的邊長(zhǎng)，利用正方形的性質(zhì)可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后尋找旋轉(zhuǎn)規(guī)律，易得旋轉(zhuǎn)70次等同于旋轉(zhuǎn)2次，再利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D的坐標(biāo).

解析 因?yàn)锳-3，4，B3，4，所以AB=3+3=6.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AD=AB=6.所以D-3，10.

因?yàn)?0=4×17+2，即每4次一個(gè)循環(huán).

所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次.

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為3，-10．

小結(jié) 本題重在考查點(diǎn)的坐標(biāo)，以及正方形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)的變化規(guī)律.解答本題的關(guān)鍵要找到旋轉(zhuǎn)角度與圖形特性的關(guān)系，一般題設(shè)中常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)角度有：30°，45°，60°，90°，180°.

例2 如圖2，正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作EF的垂線，垂足為H，AG與BC相交于點(diǎn)G.若BG=3，CG=2，則CE的長(zhǎng)為（ ）

（A）54. （B）154. （C）4. （D）92.

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)以及題干信息，可得BC=CD=5，再由旋轉(zhuǎn)可得DE=BF.接下來(lái)設(shè)置未知量，證明△ABG∽△FCE，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，最后求解CE即可.

解析 因?yàn)锽G=3，CG=2.所以BC=BG+GC=2+3=5.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD=BC=5.

設(shè)DE=BF=x，則CE=5－x，CF=5+x.

因?yàn)锳H⊥EF，∠ABG=∠C=90°，

所以∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°.

所以∠HFG=∠BAG.

所以△ABG∽△FCE.

所以CEFC=BGAB，即5－x5+x=35，解得x=54.

所以CE=CD－DE=5－54=154.

小結(jié) 本題重在考查正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).在解答本題時(shí)需注意三點(diǎn)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離關(guān)系，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角關(guān)系，以及旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后圖形的全等關(guān)系.

例3 如圖3，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，正方形OEFG的一條邊OE在直線OD上，OG與CD相交于點(diǎn)M，正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OG′，OE′分別與CD，AD相交于點(diǎn)P，Q.已知矩形長(zhǎng)與寬的比值為2，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中PM：DQ=（ ）

（A）13. （B）23. （C）12. （D）34.

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和余角的關(guān)系易證三角形相似，即△OPM∽△DOQ.再?gòu)南嗨瞥霭l(fā)，根據(jù)相似比可得線段長(zhǎng)度的比值，從而得結(jié)論.

解析 因?yàn)椤螪MO+∠MDO=∠MDO+∠QDO=90°，

所以∠PMO=∠QDO.

所以△OPM∽△OQD.

所以PMDQ=OMOD

因?yàn)镃D∥AB，所以∠MDO=∠ABD.

所以tan∠MDO=tan∠ABD，

即OMOD=ADAB=12.所以PM∶DQ＝12.

小結(jié) 本題重在考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定，三角函數(shù)的定義，以及正方形和長(zhǎng)方形的性質(zhì)，熟練地掌握各定理、定義的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵.

結(jié)語(yǔ)

上述三個(gè)問(wèn)題是中考試題中常見(jiàn)的與正方形有關(guān)的且利用旋轉(zhuǎn)法求解的例子.對(duì)于這一類型題目，在閱讀題干時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：①是否有特殊的旋轉(zhuǎn)角度；②旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否有重邊或公共邊的情況；③是否出現(xiàn)等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊的圖形等.當(dāng)出現(xiàn)以上這幾點(diǎn)時(shí)，解題過(guò)程會(huì)相對(duì)復(fù)雜，經(jīng)常要利用全等三角形、相似三角形、勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換等聯(lián)合解題.一般“全等”與“旋轉(zhuǎn)”是等長(zhǎng)線段的轉(zhuǎn)換工具；“相似”是比例大小的轉(zhuǎn)換工具；“勾股定理”是列等式方程的工具.這類試題需要學(xué)生有著較強(qiáng)的知識(shí)綜合運(yùn)用能力，可以通過(guò)多練、多解、多總結(jié)的過(guò)程，掌握旋轉(zhuǎn)與正方形的結(jié)合問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]課程教材研究所.八年級(jí)數(shù)學(xué)：下[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]課程教材研究所.九年級(jí)數(shù)學(xué)：上[M].北京：人民教育出版社，2012.

[3]鐘穎琦.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究及案例分析[D].寧波大學(xué)，2021.