全等三角形問題中的常見模型探析

【摘要】全等三角形問題是平面幾何問題中的一類重要題型，解答此類問題不僅需要有較強的思維能力，還要掌握一些常見的模型構造方法.本文根據幾道例題談全等三角形問題中的三個常見模型，以供讀者參考.

【關鍵詞】全等三角形；初中數學；解題技巧

1 “倍長中線”模型

例1 如圖1所示，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD上的一點，AE=2DE，AE=3，BE=5，CE=4，則△ABC的面積為.

解 延長AD到點F，使ED=DF，連接BF，如圖2.

所以EF=2DE.

因為AE=2DE，AE=3，

所以EF=AE=3.

在△BDF和△CDE中，

BD=CD，∠BDF=∠CDE，DF=DE，

所以△BDF≌△CDE，

所以BF=CE=4.

因為BE=5，

所以BF2+EF2=42+32=52=BE2，

所以∠BFE=90°.

所以S△BCE=S△BEF=12×3×4=6.

因為AE=2DE，

所以S△ABE+S△ACE=2S△BCE=12，

所以S△ABC=18.

評析 “倍長中線”模型是構造全等三角形時較為常用的一類模型，中線本身帶有線段相等的性質，同時在延長之后對頂角相等也可以作為證明全等三角形的條件之一.

2 “K”字模型

例2 在平面直角坐標系中，存在兩點A（7，0），B（3，－8），點P為一次函數y=x－1圖象上的一點，且∠ABP=45°，求點P的坐標.

解 如圖3所示，過點B作直線CD∥x軸，作BE⊥AB并截取BE=AB.作AC⊥CD于點C，作ED⊥CD于點D，連接AE，

則由“K”字模型可得△ABC≌△BED.

所以AC=BD=8，BC=DE=4，

所以E（－5，－4）.

設BP交AE于點F，

則由∠ABP=45°，

BE⊥AB，BE=AB，

可得點F為線段AE的中點，

所以F（1，－2）.

由B（3，－8）和F（1，－2），

易得yBF=－3x+1，

聯立y=－3x+1y=x－1，

解得x=12y=－12，

所以點P（12，－12）.

評析 “K”字模型是構造全等三角形常用的一類模型，其主要是通過構造垂直，從而得到全等三角形.此方法要求構造出的直角三角形的斜邊要相等，若不相等，則一般是相似三角形.

3 “半角”模型

例3 如圖4所示，四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，點E、F分別是AB、AD上的點，且AE=DF.連接DE、BF交于點G，連接CG、BD.若CG=7，BG=5，則DG=.

解 如圖5所示，延長FB到點M，使BM=DG，連接CM.

因為∠A=60°，AB=AD，

所以△ABD為等邊三角形，

則∠A=∠BDF=60°.

因為CD∥AB，

所以∠ADC=180°－∠A=120°，

同理可得∠ABC=120°.

在△AED和△DFB中，AD=DB，

∠A=∠BDF，AE=DF，

所以△AED≌△DFB.

所以∠ADE=∠DBF，∠AED=∠DFB.

因為AD∥BC，DC∥AB，

所以∠DFB=∠CBM，∠AED=∠CDG，

所以∠CBM=∠CDG.

因為△DBC是等邊三角形，

所以CD=CB.

在△CDG和△CBM中，

CD=CB，∠CDG=∠CBM，DG=BM，

所以△CDG≌△CBM.

所以∠DCG=∠BCM，CG=CM，

所以∠GCM=∠DCB=60°，

所以△CGM是等邊三角形，

則CG=GM=BG+BM=BG+DG，

即DG=CG－BG=2.

評析 “半角”模型的關鍵在于找到含半角的角度，然后通過旋轉實現構造全等三角形，由全等條件得到邊角條件之后，再進行相關的證明或計算.

4 結語

上文通過三道例題介紹了全等三角形中的三個常用模型.在平時解題時，學生要學會總結歸納，分清不同模型的特征，抓住解題的關鍵點，結合平移、旋轉、對折等操作構造全等三角形，再利用全等三角形的邊角關系來解答問題.