拋物線中的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

【摘要】拋物線是初中數(shù)學(xué)的一個重要圖形，二次函數(shù)的圖象就是一條拋物線.在許多壓軸題中，二次函數(shù)就是重要的考查對象，因此掌握拋物線的相關(guān)幾何性質(zhì)極其重要.本文結(jié)合例題談拋物線的兩個幾何性質(zhì)，并展示如何應(yīng)用這兩個性質(zhì)解題.

【關(guān)鍵詞】拋物線；幾何性質(zhì)；初中數(shù)學(xué)

1 性質(zhì)介紹及證明

性質(zhì)1 若拋物線y=ax2上有一定點A（x0，y0），而點B（x1，y1），C（x2，y2）是二次函數(shù)圖象上的兩個動點（不同于點A）.若AB⊥AC，則直線BC一定經(jīng)過定點P（－x0，y0+1a）.

證明 設(shè)a>0，如圖1所示分別過B、C兩點作過點A平行于x軸的直線的垂線，垂足分別為點D、E.

因為AB⊥AC，依據(jù)相似三角形中的“三垂直”模型，可得△ABD∽△CAE.

所以ADCE=BDAE.

因為點A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），

則AD=x0－x1，AE=x2－x0，BD=y1－y0=ax12－ax02，CE=y2－y0=ax22－ax02，

所以x0－x1ax22－ax02=ax12－ax02x2－x0，

整理得ax1·x2=－ax0（x1+x2）－ax02－1a.

設(shè)直線BC：y=kx+b，把B（x1，ax12），C（x2，ax22）代入，

得ax12=x1k+bax22=x2k+b，

解得k=a（x1+x2）b=－ax1x2.

所以y=a（x1+x2）x－ax1x2=a（x1+x2）（x+x0）+ax02+1a，

所以直線BC過定點P（－x0，ax02+1a），

即直線BC過定點P（－x0，y0+1a）.

拓展結(jié)論 拋物線y=a（x－h(huán)）2+k上有一定點A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）是二次函數(shù)圖象上的兩個不同于點A的動點.若AB⊥AC，則直線BC一定經(jīng)過定點P（－x0+2h，y0+1a）.

性質(zhì)2 如圖2所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與直線y=kx+m交于點A、B，與y軸交于點C，直線y=kx+m與y軸交于點D，過點A、B分別作AE⊥y軸，BF⊥y軸，垂足為點E、F，則CD=|a|AE·BF.

證明 易得C（0，c），D（0，m），

則CD=|c－m|.

設(shè)點A的橫坐標(biāo)為xA，點B的橫坐標(biāo)為xB，

則由ax2+bx+c=kx+m，

即ax2+（b－k）x+c－m=0，

得xA·xB=c－ma.

所以AE·BF=|xA·xB|=|c－ma|=CDa，

即CD=|a|AE·BF.

2 典例分析

例1 如圖3所示，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（1，0），B（－5，0），動點P在x軸的下方，連接PA，過點A作AQ⊥PA，作直線PQ.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在動點P運動的過程中，直線PQ是否經(jīng)過定點？若存在定點，求出定點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

解 （1）易得拋物線的解析式為y=x2+4x－5.

（2）由點A（1，0）及y=x2+4x－5=（x+2）2－9，

可得a=1，h=－2，x0=1，y0=0.

所以由性質(zhì)1可得直線PQ經(jīng)過定點P（－x0+2h，y0+1a），

即P（－5，1）.

例2 如圖4所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為點C.若∠ACB=90°，求證：OC=1a.

證明 因為∠ACB=90°，

所以O(shè)C2=AO·BO.

由性質(zhì)2可得OC=|a|AO·BO，

所以|a|OC2=OC，

即OC=1a.

3 結(jié)語

對于拋物線相關(guān)題目，掌握一些常用的二級結(jié)論是很有必要的，可以大大加快解題的速度.由兩道例題我們可以看出，只需要找到模型中的關(guān)鍵詞，即可直接利用結(jié)論求解出答案.