“特殊化”思想在初中數學中的運用

【摘要】在解答數學問題時，為了加快解題的速度，同時避免一些不必要的繁雜運算，一般會采用特殊的方法來簡化解題過程，從而快速解題.利用特殊化思想來解題不僅可以提高思維的靈活性，還能提高學生對于知識的應用能力.本文將結合幾道例題談談特殊化思想在初中數學中的應用.

【關鍵詞】特殊化；初中數學；解題技巧

1 構造特殊圖形

例1 如圖1所示，有一矩形ABCD，過其頂點C作CE⊥BD，垂足為E，延長EC到點F，使CF=BD，連接AF，求∠BAF的度數.

解 常規解法 延長AB至點G，使BG=AB，連接GC、GH、AC，如圖2所示.

因為四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.

又因為AB=BG，CB垂直平分AG，所以AH=GH，AC=CG.

則△ACH△GCH，所以∠HAC=∠HGC.

又因為矩形的對角線相等，即AC=BD，

而CF=BD，所以AC=CF，

所以∠F=∠CAF=∠HGC.

又因為矩形對邊平行且相等，

所以BG∥DC，BG=DC.

所以四邊形BGCD是平行四邊形，

則BD∥CG.

因為CE⊥BD，所以EF⊥CG，

則∠GCF=90°.

在△GPH和△FPC中，∠HPG=∠CPF，∠HGC=∠F，

所以∠GHP=∠GCF=90°.

所以GH⊥AF，△AGH是等腰直角三角形，所以∠BAF=45°.

特殊解法將矩形ABCD特殊化看作是正方形ABCD，則如圖3所示.

易得AF是∠BAD的角平分線，

故∠BAF=45°.

評析 此題雖然條件比較簡單，圖形也不算復雜，但是若按常規思考方式往往難以發現解題的思路.但是此題的條件可以特殊化，通過構造特殊圖形，將矩形特殊化為正方形，則AF與EF重合.此時，可得∠BAF=12∠BAD=45°.這樣就可以利用構造法將問題簡化，思路也更加清晰.

2 利用特殊點

例2 如圖4所示，線段AB是半圓O的直徑，長度為2，直角三角形DEC的直角邊DE與OB重合，且∠DCE=30°.連接AC，點P是AC上的一點，且CP=3AP，將△DEC繞點B按順時針方向旋轉到圖5的位置，則點P在此過程中運動的路徑長為（ ）

（A）132π. （B）34. （C）312π. （D）34π.

解 如圖4所示，取圓心O所在位置為特殊的點D，則點P的運動軌跡是一個圓弧.

過點P作BC的平行線與AB相交，交點即為圓弧的圓心.

因為CP=3AP，所以圓弧的半徑大小為34，則點P的運動路徑長為l=60·π·34180=312π，答案為（C）.

評析 在取特殊點時要把原先研究的動點固定在某個位置，方便后續的觀察與分析.這時再以所取特殊點的變化為基準，研究出其軌跡，反推出原研究動點的軌跡，即可得到答案.需要注意的是，所取的特殊點一定要不違背原題的條件，并且能夠起到簡化問題的目的.

3 選取特殊的值

例3 現有周長相等的三種圖形：正三角形、正方形、正六邊形，三者的面積分別為S1、S2、S3，則下列說法中正確的一項是（ ）

（A）S1>S2>S3. （B）S1>S2>S3.

（C）S3>S1>S2. （D）S2>S3>S1.

解 設三者的周長大小均為6，則正三角形的邊長為2，高為3，則S1=3；

正方形的邊長為32，則S2=94；正六邊形的邊長為1，邊心距為32，則S3=332.

因為332>94>3，所以S2>S2>S1，選擇（B）選項.

評析 選取特殊值是特殊化思想中的一種常用方法.部分題目只會給出變量之間的關系式，并不直觀，也不方便運算.這時就可以選取一些特殊值，既方便計算，也可以快速地得出答案.

4 結語

總的來說，特殊化思想在初中數學解題中是極其廣泛的.但與此同時也要認識到特殊化的局限性：在特殊情況下成立的一般情況下未必成立，要輔以更多的嚴謹證明.但是特殊情況下不成立的，一般情況下也肯定不會成立，所以對于選擇題和填空題，特殊化思想可以加快解題的速度.

參考文獻：

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