淺析分式方程中的無解與增根

【摘要】分式方程的無解與增根是求解分式方程過程中經常遇到的兩種情況.許多學生對概念的把握并不清楚，經常混淆.對于這兩種情況，解題的方法也有所不同.本文結合幾道例題談對兩者的差異并分析不同情形問題的解法，以求拋磚引玉.

【關鍵詞】分式方程；無解與增根；初中數學

典例分析

情形1 分式方程無解與有增根等價

例1 若關于x的分式方程2xx－1－1=m+3x－1有增根，求參數m的值.

解 通分得2xx－1－x－1x－1=m+3x－1，

去分母，即2x－x+1=m+3，

所以x=m+2.

因為分式方程是有增根的，即當x=1時有增根，

將x=1代入x=m+2得m=－1.

例2 若關于x的分式方程3xx－2－1=m+3x－2有增根，則參數m的值為.

解 對分式方程通分并去分母可得3x－（x－2）=m+3，

則2x=m+1.

而分式方程有增根，即當x=2時有增根，

將x=2代入2x=m+1，

得m=3.

評析 通過以上兩道例題，可以看出對于這一類的分式方程，需要先將其化為整式方程，這樣方程就有唯一解.同時，增根就是原分式方程中分母無意義的情況，只需要得到x的值，代入解就可以得到參數的值.

情形2 分式方程的無解包含有增根

例3 若關于x的分式方程1x－4+mx+4=m+3x2－16有增根，求參數m的值.

解 通分得x+4（x－4）（x+4）+m（x－4）（x－4）（x+4）=m+3x2－16，

去分母得x+4+m（x－4）=m+3，

所以（1+m）x=5m－1.

因為方程是有增根的，即當x=4或x=－4時存在增根，

將x=4代入（1+m）x=5m－1，

得m=5.

將x=－4代入（1+m）x=5m－1，

得m=－13.

所以參數m的值為m=5或m=－13.

例4 若關于x的方程xx－2+2m2－x=2m無解，則參數m的值為.

解 通分得xx－2－2mx－2=2m（x－2）x－2，

去分母得x－2m=2m（x－2）.

對于原分式方程無解，則可能有兩種情況：

①整式方程無解②整式方程有解，但解為增根，依此分類討論.

對于①，x－2m=2m（x－2）可以轉化為（1－2m）x=－2m，

則1－2m=0，即m=12，符合題意.

對于②，因為整式方程是有解的，則解為x=－2m1－2m，

又因為原分式方程是有增根的，即x=2，解得m=1，符合題意.

綜上所述，m=12或m=1.

評析 對于此類問題，先將分式方程化為整式，轉化后整式方程不確定是否有解，需要分類討論，一是整式方程是無解的；二是整式方程的解是原方程的增根.在遇到此類問題時，要有分類討論的意識.

情形3 無解與有增根無關

例5 若關于x的分式方程2xx+1－mx2+x=x+1x無解，求參數m的取值范圍.

解 將分式方程通分2x2x（x+1）－mx2+x=（x+1）2x（x+1），

去分母得2x2－m=（x+1）2.

原分式方程無解，所以可能有兩種情況.

①若方程2x2－m=（x+1）2無解，則利用方程根的判別式可得：

Δ=b2－4ac=4－4（－m－1）=4m+8<0，即m<－2，符合題意.

②若方程2x2－m=（x+1）2有解，則利用方程根的判別式可得：

Δ=b2－4ac=4－4（－m－1）=4m+8≥0，即m≥－2.

由韋達定理可得此方程的兩解滿足x1+x2=－ba=2，

因為原分式方程有x=0或x=－1兩個增根，

將x1=0代入解得m=－1，同時求得另一根x2=2，不符合題意，所以m≠－1.

當x1=－1，代入解得m=2，同時求得另一根x2=3，也不符合題意，所以m≠2.

綜上所述：m<－2.

評析 此種情形較為復雜，是分式方程無解與增根問題中需要較多討論的一類情況.因為無解與無增根無關，所以也就沒有參考.只能根據不同的情況進行討論，一一判別是否符合實際情況.

結語

對于分式方程的無解與增根中的各種情形，并不能僅僅依靠記憶和背誦，而是要去分析問題、理解問題，解讀出條件背后的本質意義，從而將問題一一解決.