當“機靈鬼”遇到“搗蛋鬼”

我們知道，全等三角形的判定方法俱樂部有五個好兄弟：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”和“HL”，其中“HL”還很特別。對于“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”（即“SSA”）這種情況，證明全等時不一定成立，因此“SSA”一直無法加入俱樂部，從而經常“惹是生非”，給同學們的數學學習制造了大麻煩，成了名副其實的“搗蛋鬼”。

例 如圖1所示，∠BAC是鈍角，AB=AC，D、E分別在AB、AC上，且CD=BE。試說明∠ADC=∠AEB。

這是學校期中試卷上的一道題。試卷發下來，機靈鬼波波想：“我應該又是滿分吧。”可當他翻開試卷，這道題的8分全扣，損失巨大！波波的腦瓜子一下子嗡嗡的。下面就是波波的解題過程，大家看看他哪里錯了？你能幫他改正嗎？

證明：在△ABE和△ACD中，

[AB=AC，（已知）BE=CD，（已知）∠BAE=∠CAD，（公共角）]

∴△ABE≌△ACD（SSA）。

∴∠AEB=∠ADC。

同學們看出來了吧？證明兩個三角形全等，不能用“SSA”，而波波正是犯了這個錯誤。我們仿佛看到了搗蛋鬼“SSA”躲在角落里偷偷地笑：“哈哈，我挖的坑，終于有人跳進去了。”

那應該怎么解決這道題呢？

既然“SSA”不能用來判定兩個三角形全等，那么只能通過轉化，把∠ADC和∠AEB分別放到兩個新構造的三角形中，證明這兩個三角形全等即可。解法如下：

證明：如圖2所示，因為∠BAC是鈍角，所以過B、C兩點分別作CA、BA延長線的垂線，垂足分別為F、G。

在△ABF與△ACG中，

[∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，]

∴△ABF≌△ACG（AAS）。

∴BF=CG。

在Rt△BEF和Rt△CDG中，∠F=∠G=90°，

[BE=CD，BF=CG，]

∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）。

∴∠ADC=∠AEB。

這樣的解法是不是很酷？我們仿佛又看到搗蛋鬼“SSA”躲在角落里偷偷地哭：“嗚嗚，我挖的坑，被人填平了。”

搗蛋鬼“SSA”靈機一動，心生一計，又出了一道題：

如圖3，點A、D、E在一條直線上，AB=AC，∠BDE=∠CDE＜90°，求證BD=CD。

小虎同學的證明過程如下：

證明：∵∠BDE=∠CDE，

∴∠ADB=∠ADC。 （第一步）

又∵AD=AD，AB=AC，

∴△ABD≌△ACD。 （第二步）

∴BD=CD。 （第三步）

（1）小虎在第 " " " " 步出現錯誤；

（2）請寫出正確的證明過程。

同學們，趕緊試一試吧！

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）