基于降次消元及數形結合的雙縫干涉計算研究

摘 要：高中物理教材中“光的干涉”一節在研究干涉條紋與光的波長之間的關系時，采用了雙重近似處理。若不采用這種近似方法，學生就需要解決涉及三元二次方程組的問題，這對學生的數學能力提出了較高的要求。本文基于降次消元和數形結合的思路，分別提出“因式分解法”和“雙曲線法”兩種解法，降低了學生計算和理解的難度，基于以上解法再提出一種更簡潔、直觀的近似思路。

關鍵詞：雙縫干涉；數形結合；近似處理

1 引言

2020年人教版高中物理新教材選擇性必修第一冊第四章第3節的課題名為“光的干涉”。［1］本文就“干涉條紋和光的波長之間的關系”進行了推導，從而為下一節“實驗：用雙縫干涉測量光的波長”提供理論支撐。雙縫干涉的原理圖如圖1所示。其中，兩縫中心之間的距離為d，兩縫S1、S2的連線的中垂線與屏的交點為P0，雙縫到屏的距離OP0＝l。在線段P1S2上作P1S1=P1M。

在推導亮條紋中心的位置時，為了降低學生的計算難度， 教師教學用書上采取了雙重近似處理。［2］

近似1：當兩縫之間的距離d遠小于雙縫到屏的距離l時，認為△S1S2M是直角三角形。

近似2：當角θ 很小時，認為用弧度表示的θ與θ 的正弦值sinθ 、正切值tanθ 三者近似相等。

教師在教學過程中以及學生在推導過程中存在較多疑惑：為什么要這樣做近似？該近似是否可靠？南京市東山高級中學的謝禮平老師采用實際數據，就教材的近似處理方法做了誤差分析。［3］分析結果表明，近似處理后的結果與真實值相對誤差在10－7級別，這表明教科書中采用的近似處理方法是值得信賴的。然而，考慮到高中生所掌握的數學知識，教材若直接求解下文中的三元二次方程組，確實會使學生理解起來有一定的難度，這正是教材選擇近似處理的原因。那么，如果不做近似處理而直接求解三元二次方程組，是否存在更巧妙的計算方法呢？又或者該問題是否存在更簡單、更能讓人信服的近似處理方式？

本文基于降次消元和數形結合的思路，分別提出“因式分解法”和“雙曲線法”兩種解法，從而降低了學生的計算和理解難度。

2 “因式分解法”巧解三元二次方程組

若兩光源S1、S2與屏上某點的光程差是波長λ的整數倍，則兩列光波在該點相互加強。在P1處出現第n 級亮條紋應滿足

本文采用的近似處理方法與教科書中的方法相比，省去了復雜的幾何推導，同時能夠得出相似的近似結論。本文的方法無論是在理解上還是計算上，都更為簡捷和高效。

參考文獻

［1］人民教育出版社 課程教材研究所 物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書 物理 選擇性必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020：90-94．

［2］人民教育出版社 課程教材研究所 物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書

教師教學用書 物理 選擇性必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020：104-108．

［3］謝禮平.對雙縫干涉實驗亮條紋位置的幾點思考［J］.物理教師，2022，43（5）：47-49．

［4］人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 選擇性必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2019：118-129．