第39屆全國中學生物理競賽復賽第三題的拓展討論

摘 要：第39屆全國中學生物理競賽復賽第三題的解答中闡述了球與斜面碰撞后的速度、角速度與碰撞次數n的奇偶性有關。本文通過模擬運動圖像，獲得了運動過程的頻閃照片，并通過理論研究發現，在滿足一定條件的情況下，轉動慣量I對物體在運動過程中速度、角速度的奇偶特性沒有影響。

關鍵詞：物理競賽；摩擦力；剛體；彈性碰撞

1 競賽真題呈現

如圖1所示，將質量為m、半徑為R的勻質實心球從傾角為θ的無限長固定斜面上發射，已知球心初速度垂直于斜面，大小為v，球初始的自轉角速度為零。為方便描述實心球此后的運動，在斜面參考系中建立如圖所示的平面直角坐標系，其中x軸沿斜面向下，y軸垂直于斜面向上。假設球與斜面的碰撞是彈性的，碰撞時間極短，且碰撞前、后的瞬間球垂直于斜面的速度大小不變。進一步假設斜面足夠粗糙，以至于在球與斜面的碰撞過程中，其間摩擦力足夠大、接觸點無相對滑動。已知球繞其直徑的轉動慣量為I＝2/5mR2，求：

（1）第1次碰撞前的球心速度和球的自轉角速度；

（2）第1次碰撞后的球心速度和球的自轉角速度；

（3）第n次碰撞后球心沿著x軸方向的速度和球的自轉角速度；

（4）前n次碰撞過程中斜面對球施加的總沖量。

2 對于該題的拓展討論

2.1 運動圖像模擬

根據題設條件，使用Matlab軟件模擬得到的物體運動過程的頻閃照片如圖2所示。［1，2，3］橫、縱坐標分別對應于圖2中的x軸和y軸。在模擬過程中，相鄰兩次快門間小球轉過的角度不超過2π，并且使小球始終保持順時針方向轉動。模擬時每次碰撞前后角速度ω與速度v的改變量關系表如表1所示。通過將圖2和表1的數據與標準答案對比可以發現，模擬結果與標準答案的理論結果相吻合，即在偶數次碰撞時，x方向的速度變化量小，角速度不改變；而在奇數次碰撞時，x方向的速度變化量大，角速度也發生改變。

2.2 轉動慣量I與物體v、ω的“奇偶性”存在的關系

在解答和模擬過程中，我們發現小球經過n次碰撞后的角速度ω和在x方向上的速度v需要根據碰撞次數n是奇數還是偶數來分別討論。在后文中，我們將這種特性簡稱為“奇偶性”。

在本題中，小球是一個勻質實心球，其轉動慣量I＝25mR2。這時出現了碰撞后速度和角速度存在奇偶性的情況。這是一個巧合嗎？如果該物體是一個圓柱體或者球殼，情況是否會發生變化呢？為了探究轉動慣量與奇偶性之間的關聯，我們將物體的轉動慣量設為任意值I。物體的運動可以分為以下兩個過程。

從式B15B16可以看出，轉動慣量I的取值并不影響物體碰撞后速度和角速度的奇偶性。但這并不意味著物體的形狀可以任意選取。研究式②以及式④⑤的遞歸關系發現，推導過程需要滿足物體上摩擦力作用點到質心的距離R為常數。當物體滿足這一條件時，無論其轉動慣量取何值，得到的結果都表明速度和角速度具有奇偶性。

3 結論

本文分別從Matlab模擬和理論推導的方面對第39屆全國中學生物理競賽復賽第三題進行研究，得到了粗糙斜面上彈跳小球的運動情況。研究發現，碰撞前后小球的速度和角速度的變化與碰撞次數的奇偶性有關。進一步的理論推導表明，只要物體繞質心的轉動半徑R為常數，這種“奇偶性現象”就與轉動慣量的取值無關。

參考文獻

［1］陳燕，楊成明. Matlab模擬描繪帶電粒子在磁場中運動軌跡圖［J］. 物理教師， 2020， 41（3）： 72-73，77．

［2］張健敏， 董慎行. Flash MX中物理圖線的描繪方法［J］. 物理教師， 2004， 25（9）： 39-40．

［3］俞罕卿， 錢卓琳， 朱國強. 獵犬追狐貍問題的求解MATLAB模擬［J］. 物理教學， 2020， 42（3）： 63-65，49．