有機融通：指向“應用意識”的數學教學

[摘 要]融通式數學應用就是用數學的學科思想、方法去解決問題。融通式數學應用包括數學學科內的知識應用、跨學科知識應用以及學生的生活實踐應用。在數學教學融通式應用過程中，教師要引導學生積極主動地運算、推理、分析，引導學生積極主動地畫圖、制表、優化。數學融通式應用不僅是一種策略、一種手段，也是一種方法、一種思想、一種觀念。數學融通式應用是落實數學學科立德樹人任務的根本性路徑。

[關鍵詞]小學數學；應用意識；融通策略

“應用意識”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》的核心概念，同時也是學生核心素養的重要組成。培育學生的應用意識，是小學數學教學的應有之義、應然之舉。數學應用，不應僅僅局限于數學學科領域，而應當可以滲透到多學科之中，融入學生的生活、實踐之中。在學生的學習、生活中有機融入、融通相關的數學學科知識，能充分發揮數學學科的育人功能，彰顯數學學科的育人價值。數學融通式應用，應當既散發出理性的光輝，又散發出人文的氣息、人性的光芒。從整體上看，數學融通式應用既包括數學學科內部應用和數學學科的外部應用。數學學科的外部應用又包括跨學科應用和跨界性的生活應用、實踐應用。實踐證明，數學融通式應用應當是落實數學學科立德樹人任務的根本性路徑。

一、學科內的融通：讓數學應用具有綜合性

當下的數學應用教學，一個最為明顯的弊病就是數學應用的窄化、淺化。很多數學教師，往往在一個數學學科知識點教學之后，就是引導學生進行簡單的重復，就是讓學生進行簡單的模仿。這樣的一種單一指向的所謂的“數學應用”，不能有效激發學生的應用興趣，調動學生的應用積極性。在數學學科教學場域，高階的數學應用應當是綜合性、融通式的應用。數學融通式應用應當能整合多種數學學科知識，如代數學、圖形幾何學、統計學、運籌學、信息學等。作為教師，要引導學生充分經歷數學信息的解讀、提取、加工的整個過程。數學融通式應用是一種挑戰性應用。在設計、研發相關的數學學科問題時，教師要有意識地將諸多數學學科知識融入、滲透其中，讓學生在數學學科知識支撐、支持下，展現其數學化的思維。

教學人教版小學數學教材六年級上冊“百分數”這一單元中的“折數”這一部分內容之后，筆者就創設了一個購物的情境，設計、研發了一個“購物中的學問”的綜合性實踐項目：一件衣服標價為360元，在甲商場按照打六折的方式促銷，在乙商場按“買五增二”的方式促銷，在丙商場按照“每滿100減50”的方式銷售，在丁商場按照“滿200元減100”的方式促銷。在相同質量的前提下，我們應當到哪一個商場去買衣服？”這樣的一個具有實用性質的綜合實踐活動，能引導學生用“數學的眼光”去發現、用“數學的大腦”去思考、用“數學的語言”去表達。學生經過觀察、畫圖、比較、計算、推理等方式，積極尋找解決問題的方案。教學中，筆者著眼于學生應用能力的提升，不僅致力于引導學生解決問題，同時致力于幫助學生建構“此一類”問題的數學模型，即引導學生理解、掌握常見的“買幾送幾”“每滿多少送多少”“滿多少送多少”轉化成“折數”的方法，并讓學生建立具有方法論意義上的數學模型。在這個過程中，學生不僅認識、理解了多種促銷方式，而且掌握了多種促銷方式的相互轉化方法。學生在解決問題的過程中積極、主動地比較。如有學生采用“比總價的方法”，有學生采用“比單價的方法”，還有學生采用“比折數的方法”等。在“比單價”“比總價”“比折數”過程中，學生逐步理解、掌握了計算、推理的比較策略。在數學學科中實施融通式數學應用教學，教師不僅可以設計常規性的問題，而且可以設計開放性、拓展延伸性的問題，從而賦予學生從數學學科多個視角、多個層面來思考問題的機會，培育學生的應用意識、創新意識、綜合意識。在融通式數學應用過程中，教師要處理好開放性問題與封閉性問題的關系，處理好預設性問題與生成性問題的關系，要將開放性問題和封閉性問題結合起來，將預設性問題和生成性問題結合起來，讓它們共同指向學生的數學學科知識的創新性應用和數學思維的拓展性延伸。

學科內的融通應用，是一種整合數學學科知識的應用，是一種諸多數學學科技能相結合的應用。作為教師，要為學生的融通應用打造平臺、提供契機，賦予學生融通應用的權利、時空，讓學生在數學學科學習過程中能進行積極主動的融通應用。要引導學生在數學學科學習過程中積極主動地用、科學合理地用、靈活靈動地用。要留給學生充足的探究時空，并組織學生展開有效的交流、展示，以引發學生的深度對話。通過數學學科內的融通應用，來促進學生的數學高階學習，來發展學生的高階認知、高階思維。融通應用是學生數學學習力的重要標識，也是學生數學學科核心素養的重要標識。

二、學科間的融通：讓數學應用具有高階性

數學應用不僅是學科內的知識應用，更是多學科知識相結合的跨學科應用。當下的學科教學，學科邊界越來越模糊，學科邊界的消弭直接關涉到學生對數學學科知識的應用。數學學科，是從“量”的視角來研究問題的，它不僅注重對研究對象的定性描述，更注重對研究對象的定量刻畫。數學跨學科應用的領域是廣泛的。作為教師，要有意識地打破學科的邊界，要有意識地尋找學科之間的交叉點，要有意識地打通學科之間的關節，讓學科知識在數學應用中能展開對話、互動。培育學生的數學應用意識，必須讓學生的數學學科知識應用向著多學科領域拓展、延伸。

多學科間的融通要求教師注重綜合性問題、任務等的驅動，注重綜合性情境的創設。因為，數學學科知識在多學科領域的應用，不是機械的、盲目的嫁接，而是一種整合、融合。實踐中，教師可以采用“數學+”的方式展開。為了讓數學學科知識的跨學科應用更有效度，教師在教學中不妨引導學生建構一個主題，在主題的統攝下，凸顯數學學科知識的相關的大概念、高觀點。在大概念、高觀點的觀照下，將數學學科知識融入多學科融通中。在跨學科的融通中，應用應當凸顯數學學科知識，凸顯數學思想方法，凸顯數學的文化和精神。換言之，跨學科融通應當以數學學科知識為靈魂。教學“圖形的運動（一）”（人教版小學數學教材二年級下冊）之后，筆者設計研發了“小小設計師”的項目化活動。這一項目化活動，讓學生真正成為探究的主體。在這一項目化活動中，教師要引導學生充分應用所學的“圖形的運動”如“軸對稱圖形”“圖形的平移”“圖形的運動”等相關知識。同時，實施這一項目化活動，筆者在教學中充分喚醒、激活學生的美術學科相關知識，如“二方連續”“四方連續”等知識，從而讓學生的項目化活動更能促進學生感受美、理解美、鑒賞美、創造美。美術是一門藝術性的學科。將數學與藝術性學科結合，不僅能有效地引導學生審美，而且能有效地引導學生立美、創美。教學中，筆者首先借助于多媒體課件向學生呈現了由圖形平移、旋轉得到的一些經典性的LOGO，如奧迪車標、奔馳車標、奧運五環、香港行政區區徽等。由此激發學生的跨學科知識應用興趣，調動學生的跨學科知識應用積極性，引導學生探究美麗的圖案的構成。學生認識到，這些看似美麗的、復雜的圖案，都是數學圖形經過單一的或者多種變換（平移、旋轉和軸對稱）得到的。任何一個復雜的圖案，都可以分解為一些簡單的基本圖形；而簡單的基本圖形經過一些變換，都能組合成一些美麗的圖案。同時，學生在探究過程中認識到，平移、旋轉、軸對稱這些變換方式，只改變圖形位置，不改變圖形形狀、大小等。因此，借助于圖形變換產生的圖案，都具有一種內在的對稱之美、秩序之美、動態之美、均衡之美。

在引導學生建構圖案、創造圖案過程中，學生還在圖案中添加了一些顏色，教師還可以引導學生將圖案中增添一些紋樣等，從而讓圖案更加地繽紛多彩，讓圖案更具有“美的意味”，成為一種“有意味的形式”。“小小設計師”這一跨學科應用項目，聚焦數學學科中的圖形的變換，同時應用美術學科中的相關知識，讓學生在數學學習過程中不斷地綻放熠彩。學生的作品既具有數學味，同時還具有美學味。融通式數學應用，要求教師要引導學生將美術學科與數學學科知識融合，并引導學生大膽地創新、創作，從而讓學生展開有意義的項目化實踐。跨學科的融合性應用實踐，能有效地發展學生的高階認知、高階思維，能培育學生的數學創新意識、創新能力，能生成學生的創新品格、創新品質、創新素養。

三、生活化的融通：讓數學應用具有實踐性

融通式的數學應用，不僅致力于溝通諸學科知識，同時還關照學生的生活世界。數學學科知識來源于生活、又服務于生活。將數學學科知識與生活融通，是數學學科知識應用的根本性的取向。數學學科知識，只有融入生活之中、融入學生的經驗之中、融入學生的實踐之中，才能彰顯其意義和價值。當下，很多教師在引導學生數學學科知識應用時，往往局限于數學學科，甚至僅僅局限于教材這一“象牙塔”。這就使得學生的數學應用顯得逼仄，沒有足夠廣闊的可能性空間。生活化融通，讓數學應用具有了諸多的可能。培養學生的數學應用意識，要讓學生對數學融通式應用活動進行積極主動的調節、控制、監督、指導。

融通數學學科知識的生活化應用，是數學學科知識的跨界應用。跨界應用，主要是實踐性的應用。跨界應用能溝通數學學科知識與現實世界的聯系，讓學生感受、體驗到數學學科知識的力量，感受、體驗到數學學科知識的意義和價值。通過生活化的實踐應用，學生不僅能發現數學學科知識的“源頭”，更能發現數學學科知識的“歸宿”。以生活為載體的數學學科知識的跨界應用，能有效地揭示數學學科知識的“來龍”“去脈”，能讓學生感悟到數學學科知識的“前世”“今生”。作為教師，一方面要引導學生將數學學科知識“生活化”，另一方面要引導學生將生活“數學化”從而讓學生的數學學科知識跨界應用成為學生在“數學世界”與“生活世界”之間的來回穿行。這樣的一種“來回穿行”，對于培育學生“數學的眼光”“數學的思維”“數學的語言”等的意義、作用是不言而喻的。學生能用數學的眼光觀照生活、用數學的思維考量生活、用數學的語言表達生活。而這，正是數學學科核心素養的重要標識。教學人教版小學數學教材三年級上冊“克和千克”這一部分內容之后，教師不應僅僅通過紙筆練習，更要引導學生深入生活如超市、商場、商店等去實踐。只有通過學生的生活化實踐，學生才能真正對“克”“千克”這兩個質量單位產生科學的認知。如筆者在教學中，就設計研發了“物體有多重”的活動。在活動前，引導學生從生活中廣泛搜集相關的素材、資源，讓學生通過“看一看”“掂一掂”“拎一拎”等，去估測物體的質量；然后，引導學生用各式各樣的秤（如電子秤、桿秤、天平、磅秤等）去稱量物體的質量，并將稱量的結果與學生的量感進行比較，從而矯正學生的量感、調適學生的量感，使學生的量感從模糊走向精準、走向科學。在實踐中，筆者組織了有層次、有順序的活動，引導學生逐步形成“單位量感”“標準量感”“參照量感”“累積量感”，培養學生形成“一抓準”“一口清”的本領。在實踐活動中，不僅引導學生認識物質的質量、體驗物體的質量，而且引導學生從日常生活的方方面面來考量，如“物品的保質期”“物品的價錢”“物品的品質”等。在生活化的應用中，學生感受、體驗到了數學學科知識就在自己的身邊，感受、體驗到了數學學科知識的實用性，從而進一步激發了學生的數學學習興趣。

生活化的融通應用是一項系統性的工程。作為教師，要整體性謀劃，將培育學生的數學應用意識貫穿于學生的學習、生活的始終。“學以致用”是數學學科發展的根本性趨勢。培育學生的數學融通式應用意識，要求教師要精準把握階段性要求。在引導學生數學學科知識的融通應用中，教師要有意識地強化學生的數學應用意識，提升學生的數學應用技能，培養學生的數學應用品質，完善學生的數學應用樣態。教師要有意識地引導學生探尋數學學科知識的生活原型，同時要有意識地引導學生在生活中建構數學學科知識模型。

數學融通式應用就是用數學的學科思想、方法去探尋科學事實、現實世界現象等的一種認識、理解的過程。在數學融通式應用過程中，教師要引導學生積極主動地運算、推理、分析，積極主動地變化、畫圖、制表、優化。數學融通式應用不僅包括應用數學學科知識、思想、方法去解決、發現、論證數學問題，同時更是指應用數學學科知識、方法和思想去解決生活、實踐、工作、科學研究中的相關問題。數學融通式應用，不僅是一種策略、一種手段，也是一種方法、一種思想、一種觀念。培育學生的數學應用意識，就是要讓學生在日常的學習、生活中逐步形成一種運用數學學科知識、方法、思想等的心理傾向，形成一種應用數學學科知識、方法、思想的內在性自主、自能、自覺。

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：應用意識[J].小學數學教師，2015（4）.

[2]張敏.小學數學應用意識的內涵、價值與培養策略下載[J].小學數學教育，2024（3）.

（責任編輯：姜波）