關(guān)注數(shù)學(xué)理解 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[摘 要] 新課標(biāo)背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)越來(lái)越關(guān)注對(duì)學(xué)生綜合能力和綜合素養(yǎng)的培養(yǎng). 為了達(dá)到這一要求，教師應(yīng)從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生實(shí)際的探究活動(dòng)，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生更好地體驗(yàn)與理解、思考與探索知識(shí)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通，切實(shí)提高發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)理解;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);初中數(shù)學(xué)

問(wèn)題的提出

無(wú)理數(shù)是數(shù)的又一次擴(kuò)充，引進(jìn)無(wú)理數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著重要意義. 相對(duì)于有理數(shù)，無(wú)理數(shù)更加抽象，其中隱含的“無(wú)限”“不循環(huán)”給學(xué)生的理解帶來(lái)了困難. 為了讓學(xué)生理解和接受無(wú)理數(shù)，應(yīng)該讓學(xué)生感受無(wú)理數(shù)邏輯上的合理性.

在無(wú)理數(shù)概念教學(xué)中，首先從開(kāi)方開(kāi)始，即“如果a2=2，則a是多少”. 教材中采用“二分法”逐步推導(dǎo)，確定a的個(gè)位、十分位、百分位……，從而得到a是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)[1]. 這樣做的優(yōu)點(diǎn)是可以將前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，但是其不足是學(xué)生容易產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)，認(rèn)為無(wú)理數(shù)就是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，可見(jiàn)通過(guò)經(jīng)歷以上過(guò)程，學(xué)生雖然知道無(wú)理數(shù)的概念，但是并不能讓學(xué)生真正地理解和接受無(wú)理數(shù)的概念.

教材中給出以上推理過(guò)程，其目的是讓學(xué)生更好地接受無(wú)理數(shù). 不過(guò)從教學(xué)反饋來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生雖然能夠看得懂，但是卻不能獨(dú)立完成證明. 很多學(xué)生的證明過(guò)程推理模糊，缺乏條理性，而邏輯論證對(duì)無(wú)理數(shù)概念的建立有著不容忽視的作用，為了讓學(xué)生更好地理解和接受無(wú)理數(shù)邏輯上的合理性，筆者嘗試采用一種圖形證法，以此借助圖形的直觀幫助學(xué)生理解這個(gè)命題及其證明，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程

1. 操作與思考

問(wèn)題1：如圖1，現(xiàn)有兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，將其沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到一個(gè)大正方形，大正方形的邊長(zhǎng)是多少？

2. 操作與推理

教師給出假設(shè)后，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與推理，過(guò)程如下.

問(wèn)題2：如圖2，現(xiàn)有兩張邊長(zhǎng)為n的小正方形紙片，面積記為S，若將兩個(gè)小正方形紙片拼成一個(gè)正方形，則可以得到一個(gè)邊長(zhǎng)為m的大正方形，大正方形的面積記為S. 由此你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：結(jié)合已知易得S=2S，即2n2=m2.

問(wèn)題3：如圖3，將其中一個(gè)小正方形移到大正方形中，兩個(gè)正方形未重疊部分的面積記作S′1，由此你能得到怎么的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察、推理，易知S=S′.

問(wèn)題4：如圖4，在原有的基礎(chǔ)上，將另一個(gè)小正方形也放到大正方形中，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)圖形對(duì)稱性可知，兩個(gè)小正方形重疊部分為正方形，其邊長(zhǎng)為2n-m，面積記為S;未重疊部分的兩個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為m-n，面積記為S;余下兩個(gè)L型圖形全等，其面積記為S′，則S+S′=S+S′+S，即S=2S.

問(wèn)題5：如圖5，若將得到的兩個(gè)面積為S的小正方形平移到S中，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合圖5及以上探究經(jīng)驗(yàn)，得到S=2S .

問(wèn)題6：如圖6，如果按照以上步驟繼續(xù)操作下去，你還能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合以上規(guī)律，又得到S=2S，S=2S……

問(wèn)題7：已知m、n是正整數(shù)，由此你能得到什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，教師給予適時(shí)指導(dǎo)，學(xué)生通過(guò)合作探究得到正方形S、S、S……的邊長(zhǎng)都是正整數(shù).

問(wèn)題8：如圖6，正方形在不斷變小，這樣正方形的邊長(zhǎng)也會(huì)bW60XynsR9spzj1+pozt5LxndM2pXmO7Ti63My9LIxE=不斷減小，那么正方形的邊長(zhǎng)是整數(shù)，成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖 教學(xué)中，教師巧妙地結(jié)合圖形讓學(xué)生操作、觀察、聯(lián)想、驗(yàn)證，由此發(fā)現(xiàn)若假設(shè)成立，則小正方形的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，但是根據(jù)“最小數(shù)原理”，若按照以上過(guò)程無(wú)限迭代下去，必然會(huì)存在正方形的邊長(zhǎng)小于1的情況，由此借助圖形完成證明. 在此過(guò)程中，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察、推理，有利于激發(fā)學(xué)生的主體性，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.

3. 操作與推廣

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)適度的拓展延伸，幫助學(xué)生跳出圖形只能是正方形的局限，拓寬學(xué)生的視野. 同時(shí)，在此過(guò)程中，教師將探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，這樣一方面可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)該圖形證法的掌握情況，另一方面可以借助幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)歷以上證明過(guò)程不僅可以進(jìn)一步強(qiáng)化已有知識(shí)方法的理解，而且通過(guò)有效對(duì)比，可以讓學(xué)生更加直觀地感知“有限”與“無(wú)限”，有利于知識(shí)的內(nèi)化.

這樣借助圖形的直觀，凸顯概念的本質(zhì)，有利于概念的深化，有利于鍛煉學(xué)生邏輯推理能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

教學(xué)思考

1. 開(kāi)展自主探究，鼓勵(lì)邏輯論證

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種傳承，更是一種發(fā)展. 教學(xué)中教師不是直接將知識(shí)教給學(xué)生，而是提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去創(chuàng)造，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2. 巧借直觀想象，提升推理能力

直觀想象和邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，它們既相對(duì)獨(dú)立，又相互融合. 直觀想象為邏輯推理提供方向，而邏輯推理為直觀想象提供依據(jù)，兩者協(xié)調(diào)發(fā)展有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，樹(shù)立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求學(xué)的科學(xué)精神，提高自主學(xué)習(xí)、實(shí)踐探究的能力.

在本課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從正方形入手，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、猜想、交流、推理等過(guò)程，使得推理過(guò)程變得更加生動(dòng)、有趣. 在這一過(guò)程中，學(xué)生深度思考與探索，提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生接受知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生理解知識(shí). 因此，教師要改變單一的講授式教學(xué)，要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去歸納，從而讓學(xué)生獲得對(duì)知識(shí)真正的理解，有效激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉洪超，周楊. 歷史視角的“無(wú)理數(shù)”概念教學(xué)思考——基于對(duì)無(wú)理數(shù)概念教學(xué)淺表化現(xiàn)象的分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（02）：27-30.