“雙邏輯”下的教材資源優化重組策略

[摘 要] 教材是重要的課程資源，對其優化重組有助于加深學生對數學內容本質的理解，對數學知識結構、思想方法的感悟，能促進教師對學科特點、學生認知的理解，能充分發揮教師主導作用，突出學生主體地位. 文章通過對教材資源進行深入解讀，提出“雙邏輯”下的教材資源優化重組策略，即基于數學知識邏輯把握教材內容主線、關鍵要素、內在本質，并遵循學生認知邏輯，適當鋪設臺階，調整呈現方式，提前滲透觀念.

[關鍵詞] 教材資源;重組;邏輯;主線;要素;本質

教材是重要的課程資源，合理應用教材，創造性地對教材中的教學資源進行優化重組，有利于加深學生對內容本質的理解，能充分發揮教師主導作用，引導教師深入理解學科特點、知識結構、思想方法，科學把握學生認知規律，突出學生主體地位[1].

當然重組并非毫無章法、隨意而為，它需要建立在“雙邏輯”即數學知識邏輯和學生認知邏輯的基礎上，保證科學性，把握整體性，體現過程性，貼近學生現實并體現適度的彈性，這樣才能真正促發學生思維的發展，激發創新意識，以此感受數學的價值和魅力.

由此，筆者結合優秀教師的先進理論及自身的經驗，總結了三條切實可行的策略，下面結合具體案例進行闡述.

把握內容主線，鋪設臺階

教材是重要的課程資源，它提供了學習主題、基本線索和知識結構;但是教材不可能詳細而完整地介紹數學問題的發生與發展過程，其內容的編排順序、呈現方式、知識本質、知識之間的邏輯關系，需要每位教師用心感悟[2].

案例1 人教版七年級上冊“球賽積分表問題”.

人教版教材中出現了一張圖表，仔細研讀，可以發現給定的內容是有層次的（如圖1所示）.

這樣的解讀遵循了數學知識的邏輯，把握住這條內容主線，接下來就是思考如何在符合學生認知邏輯的前提下，將教材資源合理地轉化為教學形態，使學生自然而然地感受這個過程. 教師可以通過鋪設臺階的方式，引導學生思考，讓學生在解決問題的過程中逐步感受抽象的過程，體會字母的一般性.

層次一：閱讀表格，獲取數據含義.

問題1：怎么讀表格呢？（讀標題、首行、首列、單位，讀聯系……）

問題2：從這張表格中， 除了可以獲取直觀的信息，你還能獲取什么信息？

（開放：表格簡化、積分、鋼鐵隊、最高分、最低分……）

【層次二】加工信息，會用字母表達.

問題3：由表格中的數據，你能獲得比賽的積分規則嗎？（即勝一場得幾分？負一場得幾分？）

追問1：你能從表格中的哪一行看出負一場積多少分？

追問2：你能進一步算出勝一場積多少分嗎？

問題4：若我們班也參加比賽，請同學們想想，按照這樣的積分規則，我們班可能得幾分？你能用一個式子表示嗎？

問題5：你能用式子表示總積分與負場數之間的數量關系嗎？

【層次三】發現關系，構建方程模型.

問題6：若我們班參賽的總積分是26分，你能算出我們班的勝場數和負場數嗎？

問題7：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？請說明理由.

由此慢慢生成如圖2所示的結構圖.

一以貫之、循序漸進的認知方式，能有效地培養學生的抽象能力，而對表格背后規律的思考、概括也滲透了代數的一般化思想，能培育學生的理性思維.

又如：初中的函數概念，對學生來說抽象難懂，他們經常有似懂非懂的感覺. 對于函數的理解，不能一蹴而就，而需慢慢滲透. 比如，依據人教版教材，可以分三個階段進行滲透.

第一階段：通過聯系已學的代數式求值、二元一次方程、平面直角坐標系中的點等相關內容，并結合一些具體實例，讓學生感受數量的變化過程，以及變化過程中變量之間的對應關系，探索其中的變化規律及基本性質，嘗試根據變量的對應關系做出預測，獲得函數的感性認識，在感性認識的基礎上，歸納、概括出函數的定義，以及函數的三種表示方法.

第二階段：研究具體的函數及其性質，了解研究函數的基本方法，借助函數的知識和方法解決問題等，使學生能夠在操作層面認識和理解函數.

第三階段：了解函數與其他相關數學內容之間的聯系（如與方程之間、不等式之間的聯系），使學生能夠一般性地了解函數的概念，并應用函數思想解決實際問題.

通過以上案例可以知道，教材對于知識的內在聯系、知識的發生發展過程是無法具體而完整地呈現的，需要教師在深入理解數學知識邏輯的基礎上，對教材資源進一步解讀，把握內容主線，并在遵循學生認知邏輯的基礎上，通過鋪設臺階的方式，讓知識的形成過程更加自然而然，水到渠成.這有利于學生對內容本質的理解，也有助于學生的學習，能讓學生在解決一個個小問題的過程中學會知識，感悟方法，達到事半功倍的效果，從而提高學習自信心.

具體操作如圖3所示.

突出關鍵要素，調整呈現

在把握內容主線的前提下，對各關鍵點進行庖丁解牛，以學生的角度去重新審視、理解所教授的知識，感受學生學習過程中會遇到的問題，讓學生自然而然地經歷知識的發生與發展過程.

案例2

許多課例都是先完整呈現表格，再通過問題“若刪去最后一行，能否求出勝、負一場的積分？”讓學生感受列方程的必要性，但這樣的處理會導致觀察角度過多，不利于學生把握關鍵要素.

因此，筆者對表格的呈現方式進行調整，先呈現有特殊行的半張表格，再呈現無特殊行的另外半張表格（如圖5、圖6所示）.

每張表格達成不同的學習目標：第一張主要引導學生觀察標題、首行、首列、特殊行、特殊列;第二張的觀察角度則為行與行之間的關聯，讓學生進一步用式子表示，使問題一般化，并建立相關模型.

又如：學習平行線要讓學生感受延長后不相交，因此可以畫出如圖7所示的圖形，讓學生找找平行線. 通過橫著看、豎著看、斜著看等方式，讓學生充分感悟，避免產生只有橫著放的才叫平行的錯誤觀念.

再如：對于“頻率估計概率”，課本呈現的是拋擲硬幣的實驗，讓學生感受隨著拋擲次數的增多，正面

從以上分析可以發現，當我們抓主要因素，削枝強干，選取與呈現有利于突出數學內涵的內容，能讓學生更有方向地進行有邏輯的思考，從而更加快捷有效地達成教學目標.

具體操作如圖8所示.

挖掘內在本質，滲透觀念

教師要站在比較高的角度去認識、理解教材，挖掘出教學內容的真正教育意義，把數學教學放到一個學術的高度來看待，讓學生感受更接近數學本質的內容，這樣學生才能真正從數學教育中獲益，從而體會到數學的魅力[3].

案例3 進一步分析圖4中的表格可以發現，每行數據包含了兩個等量關系，即二元一次方程組（如圖9所示）.

而教師提出的問題“你認為至少留下幾行數據，可以算出積分規則？”能讓學生提前感受二元一次方程解的不唯一，為后面教學二元一次方程的解做鋪墊.

這樣的內容教材還有很多，如果教師有意識地滲透，能有效提高學生的好奇心、想象力、求知欲，能激發學生的學習興趣，提高學生的學習能力.

如：用刻度尺測量線段長度的本質是“疊合法”，讓學生充分感受后，學生便能自行發現量角器測量角的本質也是“疊合法”.

又如：在兩條直線相交、三條直線相交所成的角的關系探究中，兩條直線相交形成四個角，四個角之間的關系怎樣分類？從角的組成要素——頂點和邊看，可以這樣分類：頂點重合，一條邊重合，另一條邊互為反向延長線（鄰補角）;兩條邊都互為反向延長線（對頂角）. 接著研究其數量關系[4].

在后續研究三條直線相交所成的角時，學生就能基于數學知識邏輯，先研究位置關系. 由于三線共點形成的角的關系與兩條直線相交的情況本質相同，因此重點研究兩兩相交的情況.

基于學生的認知邏輯，教師可以這樣引導學生：研究三條直線兩兩相交時角的位置關系. 這些位置怎樣分類？重點研究頂點不重合的角.

首先，這些角都有一邊在同一條直線上（如圖10所示），因此可從另外一邊的同側和異側考慮. 同側的角有4個，兩兩組合就會有四種，但其實∠1與∠5，∠2與∠6對于位置的描述相同，因此可以歸為同一種，而∠1與∠6，∠5與∠2，可選其中一種，告知后續研究更多的是同內的，接著用同樣的方法研究直線異側的角. 這樣的類比探究過程，能讓學生充分感悟幾何學習的對象、內容和方法，符合學生的認知邏輯，能為學生后續學習幾何提供一般路徑的指引.

由此可見，基于數學內在本質對教材進行挖掘，滲透研究的一般路徑、基本方法，學生才能在后續的學習中有方向，才能自主學習，從而達到學會學習.

具體操作如圖11所示.

綜上，以上三條策略具體操作如圖12所示.

即教師要在認真解讀教材的基礎上，關注數學知識邏輯，理清教材資源中的邏輯連接和螺旋上升關系，把握內容主線、關鍵要素、內在本質，并基于學生的認知邏輯，從他們的心理特點和認知能力方面進行分析，通過適當的臺階鋪設、教材內容的調整呈現、提前滲透一些學科觀念的方式對教材資源進行優化重組，這樣才能有效地將學科形態轉化成教育形態. 這也是在踐行章建躍博士提出的理解數學、理解學生的理念. 當然，要讓課堂呈現更加符合學生的心理認知，還需要教師理解教學、理解技術，并讓教學研究一直在路上.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張鶴. 數學教學的邏輯[M]. 北京：首都師范大學出版社，2016.

[3]章建躍.章建躍數學教育隨想錄（上下卷）[M]. 浙江：浙江教育出版社，2016：20-29.

[4]章建躍. 研究平行線的數學思維方式[J]. 數學通報，2019，58（3）：6-10.