二元一次方程組課時設計3:應用

[摘 要] 文章以“二元一次方程組課時設計3：應用”為例，從內容及其解析、教學目標及其解析、教學問題診斷分析、教學過程設計幾個角度給出其“大立意設計、大情境引領、大任務驅動、大概念統攝”下的課時教學設計，以期為后續相關課例提供參考.

[關鍵詞] 二元一次方程組;大單元;大概念;應用

內容及其解析

（一）內容

“二元一次方程組的應用”是魯教版七年級下冊第七章的教學內容，是章精學課，也是過渡課，共3課時，位于教材第13～19頁，主要內容為列二元一次方程組解決實際問題，能為后續章小結課奠定基礎.

本節課重在引導學生明確列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，學會利用填空、表格等方式理清復雜的數量關系，并進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

（二）內容解析

第一課時的內容位于教材第13～14頁. 以“雞兔同籠”問題引入，呼應章前圖，例1是我國古代的“以繩測井”問題. 這兩個問題均來源于我國古代數學著作中的相關記載，意在使學生在運用二元一次方程組解決實際問題的過程中，明確解決問題的一般過程，并感受數學文化的熏陶. 第二課時的內容位于教材第14～16頁. 以盈利問題引入，例2是數量關系復雜的“營養品配制”問題. 這兩個問題能讓學生進一步經歷用二元一次方程組解決實際問題的步驟和方法. 這兩個情境中的等量關系均不易直接獲得，需要借助表格進行分析，找出問題中所蘊含的等量關系. 第三課時的內容位于教材第17～19頁. 以圖文并茂的形式呈現“里程碑上的數字”問題，意在讓學生感受二元一次方程組表示數字問題的簡便性. 例3是一道復雜的數字問題. 這兩個情境問題的數量關系更為復雜，以此為載體展現了分析數量關系、建立方程組解決數字問題的優越性，突出了方程組作為數學模型應用的廣泛性和有效性.

在上述分析的基礎上，為體現單元整體設計和數學課程育人價值，我們結合時政熱點，創設了以杭州亞運會為主題的大情境，在保證完成教材例1、例2、例3基本技能的基礎上，培養學生用數學的思維思考現實世界，提高數學應用意識與能力，增強學生的愛國意識與民族自豪感，培養學生團結協作、頑強拼搏的奮斗精神.

（三）教學重點

基于以上分析，可確定本節課的教學重點是：

能根據等量關系，列出二元一次方程組.

教學目標及其解析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱“《a9s/GiEdWMuf0nzOTK3oRQ==課標2022》”）對本節課的要求如下：能應用二元一次方程組解決現實生活中的實際問題.

（一）教學目標

通過上述分析，可確定本節課的教學目標為：

1. 在問題1教學中，引導學生總結出列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟.

2. 對于問題2和問題3，學生能找出其中的數量關系，并列出二元一次方程組解決.

3. 在經歷解決實際問題的過程中，讓學生進一步體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生的愛國情懷與奮斗精神，發展模型觀念、運算能力、應用意識等核心素養.

（二）目標解析

目標1達成的標志是：學生能夠用自己的語言，相互補充，總結出列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟.

目標2達成的標志是：學生能夠自己借助填空、表格等方式理清具體問題中的等量關系，并列出二元一次方程組加以解決.

目標3達成的標志是：學生體會到二元一次方程組學習的必要性，以及其在解決問題中的簡便性;在課堂學習中，學生的愛國情懷與民族自豪感產生共鳴，再次激發努力拼搏的勇氣. （本目標屬于情感、態度與價值觀目標，需要在長期的過程中慢慢形成. ）

教學問題診斷分析

（一）學生已有基礎分析

知識層面：學生已經系統學習了二元一次方程組的定義及解法，并且在六年級“一元一次方程”的學習中，已經具有列方程解決實際問題的經驗.

思維層面：七年級的學生好奇心與求知欲強，善于表達，有一定的邏輯思維能力，但水平參差不齊，思維的深度與廣度有待提高.

（二）學生基礎與目標的差距

學生在六年級已經能夠利用一元一次方程解決簡單的實際問題，不過問題中的等量關系簡單、單一，容易解決，假如遇到數量關系多，等量關系復雜的實際問題，學生在解決時缺乏分析策略，便會存在一定的困難. 具體分析如表1.

（三）教學難點

通過上述分析，可確定本節課的教學難點是：

在具體情境中找出兩組等量關系.

教學過程設計

（一）創設情境，疑點反思

播放“2023年杭州亞運會比賽精彩瞬間”記錄短片，師生共同觀看，引導學生感受祖國國力的日益強大及“更高、更快、更強”的體育精神，引導學生用數學的眼光觀察亞運會，用數學的思維思考亞運會相關問題.

問題1 9月23日杭州亞運會拉開帷幕，我國共派出886名運動員征戰亞運. 已知男運動員比女運動員多12人，請問男、女運動員各多少人.

思考：列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？

預設：根據問題1的解決過程，學生總結出“設未知數，列方程，解方程，回歸實際問題（答）”.

師生活動：教師問，學生答，學生先自己補充，教師板書學生總結的步驟. 教師在此基礎上強調與補充“找等量關系，檢驗解的正確性及是否符合實際情況”.

設計意圖 列二元一次方程組解決實際問題是本節課的重點. 學生在第二課時學習解法時已經列出并解出該方程，因此此問題直接出示上一課時學生的作答，根據作答，引導學生總結和歸納運用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟. 雖然學生在學習定義、解法時已經涉及，但是沒有具體化. 因此，問題1意在明確二元一次方程組解決實際問題的一般步驟.

（二）自主探究，目標反思

問題2 田徑和游泳作為兩個大項，我國所獲金牌數都是兩位數，共47枚. 在游泳金牌數右邊接著寫田徑金牌數，得到一個四位數;在田徑金牌數右邊接著寫游泳金牌數，也會得到一個四位數. 已知前一個四位數比后一個四位數大891，請問我國田徑和游泳各獲得金牌多少枚？

思考：設田徑獲得金牌_______枚，游泳獲得金牌_______枚.

在游泳金牌數右邊接著寫田徑金牌數，所寫的數可表示為______;

在田徑金牌數右邊接著寫游泳金牌數，所寫的數可表示為_______.

師生活動：學生獨立思考，回答空格處的答案，之后嘗試在導學案上寫出解題過程. 教師巡視指導，指定一名學生黑板板演. 對于學生板演，先讓學生自評，其他學生評價，最后教師評價，強調解答過程中出現的問題及注意事項.

設計意圖 金牌獲得數是學生感興趣的問題，易于激發學生的探究熱情與欲望. 此問題是數字問題，對應教材中的例3. 學生已經掌握二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，問題2中的等量關系相比問題1復雜，找等量關系由問題1中的直接獲得到這里借助填空的形式理清. 在此過程中，引導學生經歷建模過程，探索分析問題的方法，提高學生利用二元一次方程組作為數學模型解決問題的能力，進一步體會方程思想在實際問題中的應用.

（三）合作探究，問題反思

問題3 比賽期間，為給運動員提供安全、優質的食物，運動員食材由中標單位甲與乙供應商統一配送. 甲供應商每天每車運送蔬菜2 t和肉類4 t;乙供應商每天每車運送蔬菜3 t和肉類2 t. 亞運村運動員餐廳每天需要蔬菜12 t和肉類16 t，那么每天甲、乙供應商各運送多少車能恰好滿足餐廳需要？

小組討論：時間3分鐘，完成表2.

預設：讀完題目，很多學生可能不會做，主要在于不能獨立找出題目中存在的等量關系.

師生活動：課件出示問題3，學生讀題并理解題意. 教師詢問“會做的同學請舉手，不會做的同學請說一下你的困難”. 在學生提出“找不到等量關系”的困惑后，教師出示表2，引導學生對于數量多、等量關系復雜的問題可以借助表格來理清. 組織學生先獨立思考，然后小組討論，教師指定小組代表匯報交流成果. 最后，放手讓學生獨立解決問題，投影展示學生的作答.

設計意圖 《課標2022》提出，教學要幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養. 而學生的核心素養只有在運用這些素養解決問題的過程中才能有效形成，這就要求學生完成挑戰性學習任務. 因此，設計了問題3. 由問題1到問題3，情境中的等量關系由易到難，學生在經歷“感到困惑—倒逼思考—小組交流—茅塞頓開”的過程中，提高了分析問題、解決問題的能力，強化了模型觀念，感悟了數學應用的價值. 此外，學生在小組合作過程中，受到同齡人的啟發，更容易產生思維火花的碰撞，不僅激發了數學學習的欲望，還拓寬了邏輯思維的廣度. 學生獨自解決不了的難題，借助集體的力量就能迎刃而解，借此向學生進行德育滲透，能讓學生感受到集體的力量是強大的，感悟到學習與生活中團結協作的重要性.

練習：

亞運村運動員餐廳用甲、乙兩種原料為運動員配制營養品. 每克甲原料含5單位蛋白質和10單位鐵質，每克乙原料含7單位蛋白質和4單位鐵質. 若運動員每餐需要350單位蛋白質和400單位鐵質，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好能滿足運動員的需求？

師生活動：學生獨立完成，教師巡視指導，投影展示學生作答，師生共同評析.

設計意圖 學生趁熱打鐵，鞏固用二元一次方程組解決實際問題的方法，再次體會用表格理清數量關系的簡便性. 這道變式題是對課本第15頁例2的改編，結合亞運會大背景，對教材進行整合、利用，再次將解方程組的技能訓練與實際問題的解決融為一體，使學生在掌握基本技能（列二元一次方程組解決問題）的基礎上，發展核心素養（運算能力、數學應用能力）.

（四）整合提高，總結反思

師生活動：播放微視頻，學生觀看，之后用自己的話說一說實際問題可以用二元一次方程組解決的條件、思路、策略等.

設計意圖 在前面經歷問題1、問題2、問題3探究的基礎上，利用微課，以思維導圖（如圖1）的形式生動形象地引導學生從宏觀角度體會二元一次方程組作為數學模型解決實際問題的建模過程，幫助學生進行知識遷移，建立新的知識框架與體系;引導學生領悟方程思想及模型思想在問題解決中的應用.

師生活動：學生各抒己見，自由暢談，相互補充. 教師對于學生的收獲給予及時的肯定與鼓勵.

設計意圖 從知識、方法、思想、素養等方面引導學生對本節課的收獲進行總結（如圖2），培養學生學習后自我反思的良好習慣，對所學知識的理解加以升華，使知識系統化，從而幫助學生建立新的知識體系.

（五）布置作業，梳理反思

達標檢測：

云云和小亞以大學生志愿者的身份參與了杭州亞運會，兩人收集了一定數量的亞運會吉祥物徽章作為紀念. 云云收集的徽章數量比小亞多1個. 如果小亞給云云1個徽章，那么云云收集的數量是小亞的2倍. 請問：云云和小亞各收集了多少個吉祥物紀念徽章？

師生活動：學生在學案上獨立完成，之后教師出示正確答案，詢問作答情況及正確率，同桌相互批閱，對照答案訂正.

設計意圖 達標檢測是對學生能否達到學習目標的定量測評，是教師了解學生對本節課基礎知識、基本技能掌握情況的途徑.

布置作業：

1. 基礎作業：課時作業，共10題，其中選擇題4題，填空題3題，解答題3題，每種題型均分層呈現試題（要求當天完成，限于篇幅，此處略去）.

2. 實踐作業：

查閱亞運會相關資料，編一道與“二元一次方程組”有關的題目，同桌相互解決.

預設及師生活動：達標檢測獨立完成，教師訂正答案，學生交換批改. 短作業（基礎作業）課后20分鐘內完成;長作業（實踐作業）貫穿本章學習始終，提高學習能力和興趣，為后續知識的學習做鋪墊.

設計意圖 通過一組練習鞏固本節課學習的“用二元一次方程組解決問題”，實現“堂堂清、日日清”. 作業是學生鞏固知識、形成能力、培養習慣的重要載體，也是教師了解學情、完善教學管理的重要手段，在“雙減”背景下上述作業設計力求做到“讓不同的學生在數學上得到不同的發展”，體現控制數量、提高質量;分層作業，面向全體;注重基礎，培育素養.