二元一次方程組課時設計2:解法

[摘 要] 文章以“二元一次方程組課時設計2：解法”為例，從內容及其解析、教學目標及其解析、教學問題診斷分析、教學過程設計幾個角度給出其“大立意設計、大概念統攝、大任務驅動、大情境引領”下的課時教學設計，以期為后續相關課例提供參考.

[關鍵詞] 二元一次方程組;大單元;大概念;解法

內容及其解析

（一）內容

“解二元一次方程組”是魯教版七年級下冊第七章的教學內容，是章精學課，也是過渡課，起著承上啟下的作用，共2課時，位于教材的第6～12頁，主要內容為解二元一次方程組.

本節課重在引導學生理解將二元一次方程組轉化為一元一次方程的“消元”思想，在解決問題中體會化繁為簡、化未知為已知的化歸思想，并不斷練習強化代入消元法和加減消元法.

（二）內容解析

教材從實際問題出發，通過引導學生經歷自主探索和合作交流的活動，學習二元一次方程組的解法——代入消元法和加減消元法. 對于二元一次方程組來說，強調“消元”的思想和方法，應是貫穿始終的一條主線. 通過“消元”，將二元一次方程轉化為一元一次方程，能實現求解的目的，并體現了化繁為簡的基本策略，能促進學生理性思維的發展.

代入消元法和加減消元法是解二元一次方程組的基本方法. 代入消元法：要求從兩個方程中選擇一個系數比較簡單的方程，將它轉換成含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式，然后代入另一個方程，求出未知數的值，最后將這個未知數的值代入已變形的那個方程，求出另一個未知數的值;加減消元法：它要求兩個方程中必須有某個未知數的系數的絕對值相等（或利用等式的基本性質在方程的兩邊同時乘一個適當的不為0的數或式，使兩個方程中某一個未知數的系數的絕對值相等），然后利用等式的基本性質在方程兩邊同時相加或相減消元.

在上述分析的基礎上，為體現單元整體設計和學科育人的理念，我們結合時代背景，創設了“杭州亞運會”這一大情境，在保證實現第一節課情境1目的的基礎上，重在引導學生回顧亞運會精彩瞬間的同時，感受杭州亞運會所承載的精神力量，體會中國日益強大的科技力量.

（三）教學重點

基于以上分析，可確定本節課的教學重點是：

二元一次方程組的解法——代入消元法、加減消元法.

教學目標及其解析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱“《課標2022》”）對本節課的要求如下：掌握消元法，能解二元一次方程組.

（一）教學目標

通過上述分析，可確定本節課的教學目標為：

1. 會用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組.

2. 了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會“化未知為已知”的化歸思想.

（二）目標解析

目標1達成的標志是：學生能夠在具體問題中，選擇恰當的方式解二元一次方程組，并求解正確.

目標2達成的標志是：學生能通過相應的探究活動說出將二元一次方程組轉化為一元一次方程進行求解，并能說出如何轉化.

教學問題診斷分析

（一）學生已有基礎分析

學習本節之前，學生已經掌握了有理數、整式的運算，一元一次方程等知識，了解了二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，具備了進一步學習二元一次方程組解法的基本能力，會通過列一元一次方程解應用題，能通過分析找出題中的等量關系列出二元一次方程組.

（二）學生基礎與目標的差距

學生雖然在六年級已經掌握了有理數、整式的運算，一元一次方程的解法，對解方程有了初步的認識，但是僅限于“一元”;對二元一次方程如何求解存在疑問. 具體分析如表1.

（三）教學難點

通過上述分析，可確定本節課的教學難點是：

了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會“化未知為已知”的化歸思想.

教學過程設計

（一）創設情境，復習反思

展示上節課“認識二元一次方程組”的情境1，通過“提出了什么數學問題？”“運用我們所學的什么知識來解決的這個問題？”“如何解這個二元一次方程組？”三連問，引出我們本節課所要學習的內容——解二元一次方程組.

情境：為期16天的杭州亞運會圓滿結束，我國共派出886名運動員征戰亞運. 已知男運動員比女運動員多12人，你能根據這組數據提出什么數學問題？

預設及師生活動：男運動員和女運動員分別多少人？學生很容易回憶起用方程（一元一次方程、二元一次方程組）的知識來解決這個問題.教師追問如何解二元一次方程組，于是自然引出課題，展示本節課的學習目標.

設計意圖 通過“亞運會”為主題的問題情境，引導學生回憶所學的一元一次方程和二元一次方程組. 且面對實際問題的解決，為學生種下了疑問的種子，接著教師通過三連問不斷激發學生解二元一次方程組的欲望.

（二）自主探究，目標反思

任務1 探究如何解二元一次方程組.

觀察思考：觀察兩個方程有什么聯系，并思考如何解二元一次方程組.

預設及師生活動：學生面對會解的一元一次方程和不會解的二元一次方程組，教師引導學生觀察方程特征，“逼”學生說出將二元一次方程組轉化為一元一次方程;教師拋出問題后給予學生充足的時間思考“如何解二元一次方程組”，必要時進行引導，讓學生在問與追問中發現解二元一次方程組的思路.

設計意圖 通過設問，讓學生自主探究解二元一次方程組的思路，并習得“化未知為已知的化歸思想”和“消元思想”.

任務2 探究用“代入消元法”解方程組.

反思：如何將二元一次方程組轉化為一元一次方程？

預設及師生活動：基于兩個方程的共同特征，學生比較容易發現可通過代入消元將其轉化為一元一次方程（注意：學生可能會回答通過加減消元轉化為一元一次方程）;教師在追問中完善知識與方法，進而引導學生說出具體的轉化過程.

設計意圖 通過任務2，引導學生自行探究并歸納代入消元法.

任務3 探究用“加減消元法”解方程組.

反思：除了代入消元法以外，你們還有其他消元的方法嗎？

預設及師生活動：給予學生思考的時間，必要時讓學生討論交流（若在任務2中學生已經給出回答，則直接追問加減消元的具體轉化過程）;讓學生探究通過加減消元將二元一次方程組轉化為一元一次方程，并歸納出加減消元的一般步驟，教師進行完善和補充.

設計意圖 通過任務3，引導學生自行探究并歸納加減消元法.

任務4 探究如何選擇恰當的方法解方程組.

反思：如何選擇恰當的方法解二元一次方程組？

預設及師生活動：學生容易看出，同一個未知數系數相同或互為相反數時應選用加減消元法，而代入消元法，則需要在教師的提示性問題引導下，進行小組討論，共同探究.

設計意圖 通過這幾道題的解法以及學生小組交流討論，讓學生進一步對一般的二元一次方程組如何選擇恰當的方法有更深刻的理解，并概括歸納解題規律.

（三）例題講解，方法反思

4. 一場場精彩絕倫的比賽，離不開運動員的奮勇拼搏，同樣也離不開背后志愿者的傾情奉獻. 將視角轉移到幕后，小云和小亞作為志愿者，負責運動員來回亞運村的車次安排. 已知2輛A型汽車和3輛B型汽車最多可載乘客80人;3輛A型汽車和2輛B型汽車最多可載乘客95人.求A，B兩種型號的汽車各能載乘客多少人. （列出方程并求解）

預設及師生活動：第1題由教師板演過程，第2～4題由學生獨立完成，教師展示學生的解題過程并適時點撥.

設計意圖 通過第1題給學生板演代入消元法解方程組的一般步驟，為學生提供解二元一次方程組的樣例;第2題鞏固代入消元法解方程組，并讓學生感受代入法消元的優勢;在第1～2題的基礎上，通過第3題讓學生自主探究加減消元法解方程組的一般步驟;第4題以“亞運會”主題的形式呈現，讓學生感受亞運精神的同時，培養學生用數學思維解決現實問題的核心素養，讓學生用自己喜歡的方法解方程組. 學生在選擇中能體會不同解法的難與易，這能為后面選擇恰當的方法解二元一次方程組做鋪墊.

（四）課堂總結，提升反思

預設及師生活動：教師以階梯形式（如圖1）給出問題，幫助學生進一步明確本節課需要掌握的知識、方法、思想和素養，以及后續需要研究的內容等;引導學生在回顧本節課所學知識的同時，初步構建整章的學習體系（如圖2），體現《課標2022》提出的單元整體教學理念.

設計意圖 在本課的最后，小結通過階梯式問題“我學會了……” “要怎么做……” “怎么學會的……”和 “獲得的經驗……”，反思與回顧本節課的學習過程，這不僅為學生的后續學習奠定了基礎，還為學生的課后預習指明了思路，指向“學會學習”，培育了學生的模型觀念、運算能力、應用意識等核心素養的同時，也培養了學生的責任擔當意識.

（五）布置作業，梳理反思

達標檢測：

A. -3y=2 B. 4x+y=0

C. y=0 D. 7y=-8

3. 作為世界級賽事的亞運會承擔著向外界展示我國科技力量的任務，而延續人工智能特色的食堂自冬奧會起就一直吸引著各國媒體的眼球. 承包食物加工的公司收購了某種蔬菜140 t，該公司每天可以粗加工16 t、精加工6 t，現計劃用15天完成加工任務，假設該公司安排x天粗加工、y天精加工，則該公司應安排幾天粗加工、幾天精加工？（列方程組并求解）

布置作業：

1. 基礎作業：共10題，其中選擇題4題，填空題3題，解答題3題，每種題型均分層呈現試題（要求當天完成，限于篇幅，此處略去）.

2. 實踐作業：

請你結合亞運會，編一道與“二元一次方程組”有關的題目并嘗試解決.

預設及師生活動：達標檢測獨立完成，教師訂正答案，學生交換批改;同時在達標檢測中設計“亞運會”問題，引導學生進一步感受我國科技力量的日益強大. 短作業（基礎作業）課后20分鐘內完成;長作業（實踐作業）貫穿本章學習始終.

設計意圖 通過一組練習鞏固本節課學習的“代入消元法和加減消元法”，實現“堂堂清、日日清”. 作業是學生鞏固知識、形成能力、培養習慣的重要載體，也是教師了解學情、完善教學管理的重要手段，在“雙減”背景下，上述作業設計力求做到“讓不同的學生在數學上得到不同的發展”，體現了控制數量、提高質量;分層作業，面向全體;注重基礎，培育素養.