“二元一次方程組”單元整體設計

編者按

2023年7月，東營市勝利第六中學入選首批山東省中小學大單元教學培育學校. 學校將大單元教學范式的構建與實施作為攻關項目.

項目實施半年多來，切實提升了教師的業務素質，培育了學生的核心素養，為學校的內涵提升貢獻了“教研力量”. 東營市勝利第六中學數學教研組先行先試，在“學校—教研組—備課組，理論學習—實踐推進—反思提升，單課時研討—連續課研討—復習課研討”三輪驅動的基礎上，構建了“大立意設計、大情境引領、大任務驅動、大概念統攝”的大單元教學范式，以期通過“大立意：意在課先，落實立德樹人第一要務；大情境：真實情境，架起數學與生活的橋梁；大任務：自主建構，提高學生學習的主動性；大概念：聚焦核心，明確單元教學的主題”的實施，實現“塑整體觀 育完整人”的預期目標.

本組文章以“二元一次方程組”為依托，結合教學實踐，分別從單元整體設計和課時設計（定義、解法、應用）的角度進行案例呈現，重點關注相關理論在常態課堂的“落地生根”，以期引導更多的教研團隊參與進來，開發出更多的優秀教學案例，推動初中數學學科高質量發展.

［摘 要］ 文章以“二元一次方程組”為例，從內容及其解析、教學目標及其解析、教學問題診斷分析、教學支持條件分析、單元整體設計、教學評價幾個角度給出其“大立意設計、大情境引領、大任務驅動、大概念統攝”的大單元教學設計，并對分課時內容（定義、解法和應用）進行簡單說明.

［關鍵詞］ 二元一次方程組；大單元；大概念；方程

寫在前面

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標2022》）將義務教育階段的數學內容分為四個領域，分別是數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐. 其中，數與代數領域（第四學段）由數與式、方程與不等式、函數三個主題構成，前面的內容是后面學習內容的基礎，后面的內容是前面學習內容的延伸.

數與式是學習方程、不等式、函數等內容的基礎，而在方程、不等式、函數等內容的學習中又能鞏固數與式的相關內容，所以它們相輔相成. 方程、不等式、函數等是刻畫現實世界中數量關系（相等關系、不等關系、變量關系）的有效模型，學習時遵循相同的學習思路，主要從“定義（含相關概念）、解法、應用”三個角度展開. 可見，方程的學習將為后續學習不等式和函數奠定堅實的基礎. 而不等式和函數的學習又能鞏固方程的相關知識，所以需要一線教師引起足夠的重視.

方程是刻畫現實世界中等量關系的有效模型. 在初中階段，學生主要學習一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程這四類方程. 同上面的分析一致，這四類方程的學習同樣遵循相同的學習思路，也是主要從定義、解法、應用三個角度展開，前面內容的學習為后面內容的學習提供思路和方法，后面內容的學習又能鞏固前面內容的知識和思想.

魯教版數學教材在編寫過程中遵循螺旋上升的理念，將四類方程根據學生的認知情況和年齡特點，分布在不同的分冊中，為學生構建了邏輯一致、前后連貫的“學材”，指明了方程學習的路線圖：定義、解法、應用. 教材編排順序如表1.

內容及其解析

（一）內容

通過對大單元教學的研究，我們將初中階段的教材進行重新整合，把四冊書中的“方程”作為大單元提取為一個整體，遵循“定義、解法、應用”的學習思路，將每部分的方程分為定義、解法、應用來學習. 方程這一大單元主要依托杭州亞運會這一大情境，確立培養學生愛國情懷、頑強刻苦的拼搏精神的大立意，通過一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程學習中的大問題，最終讓學生形成“方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”這一大概念. 本次的單元課為二元一次方程組，依托杭州亞運會這一情境，將二元一次方程組（1課時）、解二元一次方程組（1課時）、二元一次方程組的應用（1課時）新授課共計3節3課時串聯為一個整體，使學習邏輯更為連貫.

（二）內容解析

“二元一次方程組”是一元一次方程等相關內容的延續，本章的學習將繼續滲透方程學習的基本套路（定義、解法、應用），為后續學習其他方程（分式方程、一元二次方程）奠定堅實的基礎. 教學時，首先，通過杭州亞運會的相關情境引導學生抽象出二元一次方程（組）的基本概念，引導學生感悟二元一次方程（組）也是刻畫現實世界中數量關系的有效模型，強調模型觀念等核心素養；接著，探索其解法，引導學生感受轉化這一數學思想，重在體會與一元一次方程的聯系與區別，同時強化運算能力的培育；最后，再次引導學生在現實情境中加以應用，切實培育學生的應用意識等核心素養，為培育學生學科核心素養貢獻力量.

第1節，通過杭州亞運會相關情境，在類比一元一次方程的基礎上引導學生抽象出二元一次方程（組），并掌握二元一次方程（組）及其解的概念，體會模型思想.

第2節，解決第1節中提出的問題，順理成章地提出二元一次方程組的解法問題，并在類比一元一次方程的基礎上獲得代入消元和加減消元兩種方法，初步體會兩種方法之間的區別與聯系，感受轉化的數學思想.

第3節，給出更多有關杭州亞運會的實例，引導學生掌握用二元一次方程組解決實際問題的基本步驟，進一步構建模型思想. 并在問題解決過程中，提高學生求解二元一次方程組的能力，提高學生的解題技能.

教學本章內容時，教師需要引導學生在類比一元一次方程學習的基礎上，主動構建二元一次方程（組）學習的“基本套路”；需要引導學生繼續感受方程（二元一次方程）是刻畫現實世界數量關系的有效模型，并在培養“分析問題和解決問題”能力的基礎上，培養學生自主“提出問題或發現問題”的能力，從而實現從“兩能”到“四能”的突破.

（三）教學重點

通過上述分析，可將本章的教學重點確定為：

在具體情境和問題解決過程中，掌握二元一次方程（組）的相關概念；會用消元法解二元一次方程組；會解決與二元一次方程組有關的實際問題.

教學目標及其解析

（一）教學目標

通過上述分析，可確定本章的教學目標為：

1. 能根據具體問題的數量關系列出二元一次方程（組），理解其意義，并掌握相關概念.

2. 能根據二元一次方程組的特點，靈活選擇代入消元法或加減消元法求解.

3. 能利用二元一次方程（組）的知識解決相關現實生活中的實際問題，感受二元一次方程（組）也是刻畫現實世界中數量關系的有效模型，建立模型觀念.

（二）目標解析

目標1達成的標志是：能清晰辨別出二元一次方程（組），并且能夠說出原因.

目標2達成的標志是：能夠準確求出二元一次方程的解，能夠在嘗試使用不同方法的求解過程中，感受到不同方法之間的區別與聯系. 同時，初步感受到轉化的數學思想.

目標3達成的標志是：能夠在具體情境中獲得等量關系，列出二元一次方程（組），并準確求解，模型觀念和運算能力有明顯提升.

教學問題診斷分析

（一）學生已有基礎分析

方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型. 學習方程可以培育學生模型觀念、運算能力、應用意識等多種核心素養，同時這些素養又為后續學習不等式和函數提供了思路和方法.

學生在一元一次方程的學習中對方程有了初步的認識，基本掌握了研究方程的“基本套路”，因此學生對二元一次方程（組）的提出不會陌生，并會在教師的引導下對二元一次方程（組）有整體的認識，從而順利解決相關問題. 同時，《課標（2022）》將“方程”相關內容的學習移至第四學段（7～9年級），這與學生的年齡特點和認知情況相匹配，有助于學生更好地掌握這部分內容.

學生雖然在一元一次方程的學習中掌握了相關知識和思想，但是二元一次方程組的學習對相關內容提出了更高的要求，所以學生在學習過程中的實際情況可能與預期目標存在差距，教師教學時需要“具體問題具體分析”.

（二）教學難點

通過上述分析，可確定本章的教學難點是：

在真實情境和具體問題中，結合多元表征發現等量關系（一般是兩組等量關系），并利用二元一次方程組的知識順利解決.

教學支持條件分析

關于方程的學習，從“一元”過渡到“二元”對學生來說會是個難點，教師需要關注學生解決問題時的思路和想法. 此外，正確尋求等量關系，將實際問題轉化為二元一次方程組問題更是“難上加難”，因此教學中教師應借助多媒體等多種手段（比如表格分析法）解決上述難點，為學生學習二元一次方程組提供支持和幫助.

單元整體設計

為了更好地進行單元整體設計，體現知識的系統性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，我們以杭州亞運會為大情境，對本章內容進行整體規劃，并結合教材，遵循定義、解法、應用的學習思路，給出二元一次方程組的單元整體設計（如圖1）.

（一）起始課：定義（1課時）

為學生設置具體的杭州亞運會問題情境，引導學生復習一元一次方程的學習路徑，為學習二元一次方程（組）提供思路和方法；通過情境2使學生感受二元一次方程（組）在解決復雜問題中的優越性，通過等量關系獲得二元一次方程（組），并類比一元一次方程，給出其概念和解的定義.

（二） 精學課1：解法（1課時）

解決精學課1中的問題，通過情境1列出的二元一次方程組的求解探究，在對比一元一次方程求解的基礎上使學生分別掌握代入消元法和加減消元法，感受轉化的數學思想；在后續問題的解決中能夠體會兩種方法的區別和聯系，會根據二元一次方程組的特點靈活選擇方法解方程.

在此基礎上，增加分解課1（1課時），用于鞏固二元一次方程組的解法，進一步體會兩種方法之間的區別與聯系，同時感受同一種消元方法中哪種方法（消去x與消去y）更好，以及體會整體消元等多種消元思路.

（三）精學課2：應用（1課時）

引入大量的杭州亞運會相關實際問題，讓學生在問題解決中體會方程思想，建立相應數學模型，形成模型觀念.

在此基礎上，增加分解課2（1課時）和分解課3（1課時），此時教師為學生提供更多的現實生活中的實際問題，將“亞運會”情境拓展至“數學文化”情境或其他情境，引導學生進一步感受二元一次方程（組）是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

最后，對上述學習內容進行系統回顧和梳理，給出小結課（1課時），進一步引導學生用數學的眼光觀察現實世界，進而提出更多相關的數學問題，并在解決學生自主“提出問題”的基礎上，形成數學思維和數學語言.

上述單元整體規劃構建了更加完整的知識體系，將二元一次方程組的學習體系和一元一次方程學習體系融為一體，構建了更加完整的“方程”知識網絡，能更為系統地呈現轉化思想，加深學生的認識. 并根據大單元設計理念，結合上述分析，將大立意、大情境、大任務、大概念分別界定如下.

大立意：培養學生愛國情懷、頑強刻苦的拼搏精神.

大情境：杭州亞運會.

大任務：如何利用二元一次方程（組）解決現實生活中的實際問題？

大概念：方程（二元一次方程組）是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

教學評價

（一）單元評價

評價方式一：單元測試.

評價方式二：學生單元小結自評表.

評價方式三：通過“作業單”評價學習質量.

（二）課時評價

以過程性評價為主，評價形式多樣化，如課堂觀察、課后訪談、成長記錄、口頭測驗、活動報告、實踐活動等. 過程性評價拆分一級指標為數學價值觀念、數學思維品質、數學學習態度、學會數學學習，細化二級指標，采用等級評價與描述性評價相結合的方式.