基于向量最值(或范圍)問題的解題教學(xué)

? 江蘇省東?？h第二高級(jí)中學(xué) 胡陳梅

平面向量的范圍與最值問題是熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題.此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識(shí)的交匯整合,其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值,比如,向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等;解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時(shí)向量兼有“數(shù)”與“形”雙重身份,故平面向量的范圍與最值問題的另一種思路是數(shù)形結(jié)合.

題型1與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)問題

圖1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過平面向量的線性表示與轉(zhuǎn)化,利用線性組合的構(gòu)建,結(jié)合三點(diǎn)共線的等價(jià)條件得到系數(shù)x,y之間的等量關(guān)系,代入目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行消參處理,進(jìn)而利用基本不等式加以放縮處理,得以確定系數(shù)關(guān)系式的最值問題.

感悟提升：解此類問題一般分兩步走.第一步,利用平面向量的運(yùn)算、性質(zhì)等將問題中的系數(shù)等相關(guān)信息轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系;第二步,運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.

圖2

題型2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題

分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cosα,借助兩向量的夾角的構(gòu)建與應(yīng)用來合理變形與轉(zhuǎn)化,通過平面幾何思維來直觀,有時(shí)也是解決此類問題時(shí)比較常用的一種技巧方法.這里要注意的是平面向量的夾角應(yīng)與平面幾何中的對(duì)應(yīng)角加以聯(lián)系,結(jié)合圖形直觀來分析即可.

圖3

感悟提升：求數(shù)量積的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)坐標(biāo)法.通過建立直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理;(2)向量法.運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識(shí)解決.

題型3與模有關(guān)的最值(范圍)問題

例3已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

分析：根據(jù)平面向量的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)屬性,構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,合理引入平面向量的坐標(biāo),利用平面向量中的相關(guān)要素,轉(zhuǎn)化為涉及坐標(biāo)的函數(shù)、方程或不等式等,進(jìn)而從代數(shù)視角來數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理.這里通過平面向量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的構(gòu)建,利用題設(shè)條件確定對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式,再利用基本不等式、三角函數(shù)的應(yīng)用等來確定最值.

解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖4所示.

圖4

感悟提升：求向量模的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)代數(shù)法.把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù),或通過建立平面直角坐標(biāo)系,借助向量的坐標(biāo)表示;需要構(gòu)造不等式,利用基本不等式、三角函數(shù),再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法).弄清所求的模表示的幾何意義,注意題目中所給的垂直、平行,以及其他數(shù)量關(guān)系,合理的轉(zhuǎn)化,使得過程更加簡(jiǎn)單;結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.

針對(duì)訓(xùn)練若向量a,b互相垂直,且滿足(a+b)·(2a-b)=2,則|a+b|的最小值為( ).

題型4與夾角有關(guān)的最值(范圍)問題

例4平面向量a,b滿足|a-b|=3,|a|=2|b|,則a-b與a夾角最大時(shí),|a|為( ).

分析：根據(jù)題設(shè),由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算加以合理變形與轉(zhuǎn)化,通過平面向量的夾角公式合理消參,利用基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行放縮,進(jìn)而確定夾角的余弦值的最小值,利用三角函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)一步分析與處理.

感悟提升：求夾角的最值(范圍)問題時(shí),往往要選取對(duì)應(yīng)夾角的三角函數(shù)值,以選取夾角余弦值為主,通過余弦值的三角函數(shù)表達(dá)式,利用關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

平面向量中的最值(范圍)問題,是高考對(duì)平面向量比較常見的考查形式之一,也是常考常新的基本考點(diǎn)之一,主要考查的知識(shí)點(diǎn)涉及平面向量的模、坐標(biāo)、夾角、數(shù)量積以及相關(guān)的參數(shù)等.在實(shí)際解答與應(yīng)用時(shí),挖掘題目?jī)?nèi)涵,結(jié)合題意,從平面向量的本質(zhì)出發(fā),選取函數(shù)法、三角法、不等式法、圖形法等行之有效的基本方法來解決,進(jìn)而達(dá)到解決相關(guān)的最值(范圍)問題的目的.